Номер 66, страница 21 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

66. Известно, что $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$ и $1,7 < \sqrt{3} < 1,8$. Оцените значение выражения:

1) $\sqrt{5} + \sqrt{3}$;

2) $\sqrt{5} - \sqrt{3}$;

3) $\sqrt{15}$.

1) $\sqrt{5} + \sqrt{3}$;

Для оценки суммы $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ воспользуемся свойством сложения неравенств. Нам даны следующие оценки:

$2,2 < \sqrt{5} < 2,3$

$1,7 < \sqrt{3} < 1,8$

Чтобы найти границы для суммы, сложим почленно левые и правые части этих неравенств:

$2,2 + 1,7 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 2,3 + 1,8$

Выполнив сложение, получаем итоговую оценку:

$3,9 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 4,1$

Ответ: $3,9 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 4,1$.

2) $\sqrt{5} - \sqrt{3}$;

Для оценки разности $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ мы можем представить ее как сумму $\sqrt{5} + (-\sqrt{3})$. Для этого сначала найдем оценку для $-\sqrt{3}$.

Известно, что $1,7 < \sqrt{3} < 1,8$. Умножим все части этого неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1,8 < -\sqrt{3} < -1,7$

Теперь сложим почленно неравенство для $\sqrt{5}$ и полученное неравенство для $-\sqrt{3}$:

$2,2 + (-1,8) < \sqrt{5} + (-\sqrt{3}) < 2,3 + (-1,7)$

Упростив выражение, получим:

$0,4 < \sqrt{5} - \sqrt{3} < 0,6$

Ответ: $0,4 < \sqrt{5} - \sqrt{3} < 0,6$.

3) $\sqrt{15}$.

Для оценки значения $\sqrt{15}$ воспользуемся свойством корней $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Таким образом, $\sqrt{15} = \sqrt{5 \cdot 3} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{3}$.

Поскольку все части исходных неравенств являются положительными числами, мы можем их перемножить почленно:

$2,2 < \sqrt{5} < 2,3$

$1,7 < \sqrt{3} < 1,8$

Перемножив левые и правые части, получаем:

$2,2 \cdot 1,7 < \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} < 2,3 \cdot 1,8$

Вычислив произведения, находим оценку для $\sqrt{15}$:

$3,74 < \sqrt{15} < 4,14$

Ответ: $3,74 < \sqrt{15} < 4,14$.