Номер 65, страница 21 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

65. Дано: $5 < a < 6$ и $4 < b < 7$. Оцените значение выражения:

1) $a+b$;

2) $ab$;

3) $a-b$.

1) a + b;

Для того чтобы оценить сумму $a + b$, необходимо сложить данные неравенства. Сложение неравенств одного знака производится почленно: левая часть с левой, правая с правой.

Имеем два неравенства:
$5 < a < 6$
$4 < b < 7$

Складываем их:
$ \begin{array}{c} + \\ \begin{array}{r@{\,}c@{\,}l} 5 & < & a < 6 \\ 4 & < & b < 7 \\ \end{array} \\ \hline \begin{array}{r@{\,}c@{\,}l} 5+4 & < & a+b < 6+7 \\ \end{array} \end{array} $
Выполняем сложение:
$9 < a + b < 13$

Ответ: $9 < a + b < 13$

2) ab;

Для оценки произведения $ab$ необходимо перемножить данные неравенства. Так как все члены неравенств ($5, a, 6, 4, b, 7$) являются положительными числами, мы можем перемножить их почленно.

Имеем неравенства:
$5 < a < 6$
$4 < b < 7$

Перемножаем их:
$ \begin{array}{c} \times \\ \begin{array}{r@{\,}c@{\,}l} 5 & < & a < 6 \\ 4 & < & b < 7 \\ \end{array} \\ \hline \begin{array}{r@{\,}c@{\,}l} 5 \cdot 4 & < & a \cdot b < 6 \cdot 7 \\ \end{array} \end{array} $
Выполняем умножение:
$20 < ab < 42$

Ответ: $20 < ab < 42$

3) a - b.

Чтобы оценить разность $a - b$, представим ее в виде суммы $a + (-b)$. Сначала найдем границы для выражения $-b$. Для этого умножим все части неравенства $4 < b < 7$ на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.

$4 < b < 7 \quad |\cdot(-1)$
$-4 > -b > -7$

Для удобства запишем полученное неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):
$-7 < -b < -4$

Теперь сложим почленно неравенства для $a$ и $-b$:
$ \begin{array}{c} + \\ \begin{array}{r@{\,}c@{\,}l} 5 & < & a < 6 \\ -7 & < & -b < -4 \\ \end{array} \\ \hline \begin{array}{r@{\,}c@{\,}l} 5 + (-7) & < & a + (-b) < 6 + (-4) \\ \end{array} \end{array} $
Выполняем вычисления:
$5 - 7 < a - b < 6 - 4$
$-2 < a - b < 2$

Ответ: $-2 < a - b < 2$