Страница 23 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

88. Упростите выражение:

1) $ \frac{x-3}{x+3} \cdot \left(x+\frac{x^2}{3-x}\right)$;

2) $ \left(\frac{a+b}{a-b} - \frac{a-b}{a+b}\right) : \frac{ab}{a^2-b^2}$.

1) Упростим выражение $\frac{x-3}{x+3} \cdot (x + \frac{x^2}{3-x})$.

Сначала выполним действие в скобках, приведя слагаемые к общему знаменателю. Общий знаменатель для $x$ и $\frac{x^2}{3-x}$ это $(3-x)$.

$x + \frac{x^2}{3-x} = \frac{x(3-x)}{3-x} + \frac{x^2}{3-x} = \frac{3x - x^2 + x^2}{3-x} = \frac{3x}{3-x}$

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$\frac{x-3}{x+3} \cdot \frac{3x}{3-x}$

Чтобы можно было сократить дробь, вынесем в знаменателе второго множителя $-1$ за скобки: $3-x = -(x-3)$.

$\frac{x-3}{x+3} \cdot \frac{3x}{-(x-3)}$

Теперь сократим общий множитель $(x-3)$ в числителе и знаменателе. Область допустимых значений: $x \neq -3$ и $x \neq 3$.

$\frac{1}{x+3} \cdot \frac{3x}{-1} = -\frac{3x}{x+3}$

Ответ: $-\frac{3x}{x+3}$

2) Упростим выражение $(\frac{a+b}{a-b} - \frac{a-b}{a+b}) : \frac{ab}{a^2-b^2}$.

Сначала выполним вычитание дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$, который по формуле разности квадратов равен $a^2-b^2$.

$\frac{a+b}{a-b} - \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{(a-b)(a-b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{a^2-b^2}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

Числитель примет вид:

$(a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2) = a^2+2ab+b^2 - a^2+2ab-b^2 = 4ab$

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{4ab}{a^2-b^2}$. Теперь выполним деление:

$\frac{4ab}{a^2-b^2} : \frac{ab}{a^2-b^2}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{4ab}{a^2-b^2} \cdot \frac{a^2-b^2}{ab}$

Сократим одинаковые множители $(a^2-b^2)$ и $(ab)$ в числителе и знаменателе. Область допустимых значений: $a, b \neq 0$ и $a \neq \pm b$.

$\frac{4\cancel{ab}}{\cancel{a^2-b^2}} \cdot \frac{\cancel{a^2-b^2}}{\cancel{ab}} = 4$

Ответ: $4$

89. Упростите выражение:

1) $6\sqrt{3} + \sqrt{27} - 3\sqrt{75};$

2) $(\sqrt{50} - 3\sqrt{2})\sqrt{2};$

3) $(2 - \sqrt{3})^2.$

1) $6\sqrt{3} + \sqrt{27} - 3\sqrt{75}$

Для упрощения данного выражения необходимо привести все слагаемые к виду $k\sqrt{3}$, где $k$ - некоторое число. Для этого вынесем множитель из-под знака корня в слагаемых $\sqrt{27}$ и $3\sqrt{75}$.

Разложим число 27 на множители: $27 = 9 \cdot 3$. Тогда $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.

Разложим число 75 на множители: $75 = 25 \cdot 3$. Тогда $3\sqrt{75} = 3\sqrt{25 \cdot 3} = 3 \cdot (\sqrt{25} \cdot \sqrt{3}) = 3 \cdot 5\sqrt{3} = 15\sqrt{3}$.

Теперь подставим упрощенные слагаемые обратно в исходное выражение:

$6\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 15\sqrt{3}$

Теперь мы можем сложить и вычесть слагаемые, так как они имеют общий множитель $\sqrt{3}$:

$(6 + 3 - 15)\sqrt{3} = (9 - 15)\sqrt{3} = -6\sqrt{3}$.

Ответ: $-6\sqrt{3}$.

2) $(\sqrt{50} - 3\sqrt{2})\sqrt{2}$

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого вынесем множитель из-под знака корня $\sqrt{50}$.

Разложим число 50 на множители: $50 = 25 \cdot 2$. Тогда $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

Подставим это значение в скобки:

$(5\sqrt{2} - 3\sqrt{2})\sqrt{2}$

Выполним вычитание в скобках:

$(5 - 3)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Теперь умножим полученный результат на $\sqrt{2}$:

$(2\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = 2 \cdot 2 = 4$.

Ответ: $4$.

3) $(2 - \sqrt{3})^2$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a=2$ и $b=\sqrt{3}$.

Подставляем значения в формулу:

$(2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$.

Вычисляем каждый член выражения:

$2^2 = 4$

$2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

$(\sqrt{3})^2 = 3$

Собираем все вместе:

$4 - 4\sqrt{3} + 3$.

Сложим числовые слагаемые:

$(4 + 3) - 4\sqrt{3} = 7 - 4\sqrt{3}$.

Ответ: $7 - 4\sqrt{3}$.

90. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\frac{x^2}{x+4};$

2) $\frac{x-4}{x^2-4};$

3) $\frac{x^2-4}{x^2+4};$

4) $\frac{4}{x-4} + \frac{1}{x}?$

Алгебраическое выражение, представляющее собой дробь, имеет смысл тогда, когда его знаменатель не равен нулю, так как операция деления на ноль не определена.

1) $\frac{x^2}{x+4}$

Данное выражение имеет смысл, если знаменатель дроби не равен нулю.

Найдем значение переменной, при котором знаменатель обращается в ноль:

$x + 4 = 0$

$x = -4$

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = -4$.

Ответ: $x \neq -4$.

2) $\frac{x-4}{x^2-4}$

Данное выражение имеет смысл, если знаменатель $x^2-4$ не равен нулю.

Найдем значения переменной, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x^2 - 4 = 0$

Используем формулу разности квадратов $(a^2 - b^2) = (a-b)(a+b)$:

$(x - 2)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x - 2 = 0$ или $x + 2 = 0$

$x = 2$ или $x = -2$

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = 2$ и $x = -2$.

Ответ: $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

3) $\frac{x^2-4}{x^2+4}$

Данное выражение имеет смысл, если знаменатель $x^2+4$ не равен нулю.

Рассмотрим уравнение $x^2 + 4 = 0$:

$x^2 = -4$

Квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Поэтому сумма $x^2+4$ всегда будет больше или равна 4 ($x^2+4 \ge 4$) и никогда не может быть равна нулю.

Таким образом, выражение имеет смысл при любом значении переменной $x$.

Ответ: $x$ - любое число.

4) $\frac{4}{x-4} + \frac{1}{x}$

Это выражение является суммой двух дробей. Оно имеет смысл, когда знаменатель каждой из дробей не равен нулю.

Для первой дроби $\frac{4}{x-4}$ знаменатель не должен быть равен нулю:

$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$

Для второй дроби $\frac{1}{x}$ знаменатель не должен быть равен нулю:

$x \neq 0$

Оба условия должны выполняться одновременно. Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = 4$ и $x = 0$.

Ответ: $x \neq 4$ и $x \neq 0$.

91. В саду растут яблони и вишни, причём вишни составляют $20\%$ всех деревьев. Сколько процентов составляет количество яблонь от количества вишен?

Пусть общее количество деревьев в саду равно $N$.

Из условия известно, что вишни составляют 20% от всех деревьев. Найдем количество вишен (В):
$В = 0.20 \cdot N$

Так как в саду растут только яблони и вишни, то оставшаяся часть деревьев — это яблони. Найдем, какой процент от общего числа деревьев составляют яблони:
$100\% - 20\% = 80\%$

Теперь найдем количество яблонь (Я):
$Я = 0.80 \cdot N$

Чтобы определить, сколько процентов составляет количество яблонь от количества вишен, необходимо найти отношение количества яблонь к количеству вишен и умножить его на 100%.

Составим отношение:
$\frac{Я}{В} = \frac{0.80 \cdot N}{0.20 \cdot N}$

Сократим $N$ в числителе и знаменателе:
$\frac{0.80}{0.20} = \frac{80}{20} = 4$

Теперь переведем полученное число в проценты, умножив его на 100:
$4 \cdot 100\% = 400\%$

Таким образом, количество яблонь составляет 400% от количества вишен.

Ответ: 400%.

92. Равносильны ли уравнения:

1) $4x + 6 = 2x - 3$ и $4x + 3 = 2x - 6;$

2) $8x - 4 = 0$ и $2x - 1 = 0;$

3) $x^2 + 2x - 3 = 0$ и $x^2 + x = 3 - x;$

4) $\frac{x^2 - 1}{x + 1} = 0$ и $x^2 - 1 = 0;$

5) $\frac{x^2 - 1}{x + 1} = 0$ и $x - 1 = 0;$

6) $x^2 + 1 = 0$ и $0x = 5?$

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Если оба уравнения не имеют корней, они также считаются равносильными.

1) $4x + 6 = 2x - 3$ и $4x + 3 = 2x - 6$

Решим первое уравнение:
$4x + 6 = 2x - 3$
$4x - 2x = -3 - 6$
$2x = -9$
$x = -4.5$
Корень первого уравнения: $x = -4.5$.

Решим второе уравнение:
$4x + 3 = 2x - 6$
$4x - 2x = -6 - 3$
$2x = -9$
$x = -4.5$
Корень второго уравнения: $x = -4.5$.

Множества корней обоих уравнений совпадают (состоят из одного числа $-4.5$), следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да, уравнения равносильны.

2) $8x - 4 = 0$ и $2x - 1 = 0$

Решим первое уравнение:
$8x = 4$
$x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
Корень первого уравнения: $x = 0.5$.

Решим второе уравнение:
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2}$
Корень второго уравнения: $x = 0.5$.

Множества корней обоих уравнений совпадают, следовательно, уравнения равносильны. (Заметим, что первое уравнение получается из второго умножением на 4, что является равносильным преобразованием).
Ответ: да, уравнения равносильны.

3) $x^2 + 2x - 3 = 0$ и $x^2 + x = 3 - x$

Решим первое уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$. Это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а произведение равно $-3$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.

Преобразуем второе уравнение:
$x^2 + x = 3 - x$
$x^2 + x + x - 3 = 0$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Второе уравнение после преобразования полностью совпадает с первым. Следовательно, оно имеет те же корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.

Множества корней обоих уравнений совпадают ($\{1, -3\}$), следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да, уравнения равносильны.

4) $\frac{x^2 - 1}{x + 1} = 0$ и $x^2 - 1 = 0$

Решим первое уравнение $\frac{x^2 - 1}{x + 1} = 0$.
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$x^2 - 1 = 0 \implies (x-1)(x+1)=0 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$.
При этом знаменатель не должен быть равен нулю: $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$.
Исключаем корень $x = -1$. Единственным корнем первого уравнения является $x = 1$.

Решим второе уравнение $x^2 - 1 = 0$.
$(x-1)(x+1)=0$.
Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

Множество корней первого уравнения $\{1\}$, а второго — $\{-1, 1\}$. Так как множества корней не совпадают, уравнения не являются равносильными.
Ответ: нет, уравнения не равносильны.

5) $\frac{x^2 - 1}{x + 1} = 0$ и $x - 1 = 0$

Как мы выяснили в предыдущем пункте, корень первого уравнения $\frac{x^2 - 1}{x + 1} = 0$ — это $x = 1$. Это следует из того, что числитель $x^2-1$ должен быть равен нулю, а знаменатель $x+1$ — нет. $x^2-1=0$ дает корни $x=1$ и $x=-1$. Условие $x+1 \neq 0$ исключает корень $x=-1$.

Решим второе уравнение:
$x - 1 = 0$
$x = 1$

Множества корней обоих уравнений совпадают (состоят из одного числа $1$), следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да, уравнения равносильны.

6) $x^2 + 1 = 0$ и $0x = 5$

Решим первое уравнение $x^2 + 1 = 0$.
$x^2 = -1$.
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому это уравнение не имеет корней в множестве действительных чисел.

Решим второе уравнение $0x = 5$.
При умножении любого числа $x$ на 0 получается 0. Равенство $0 = 5$ является ложным. Следовательно, это уравнение также не имеет корней.

Оба уравнения не имеют корней. Множество корней для каждого из них — пустое множество ($\emptyset$). Так как множества корней совпадают, уравнения равносильны.
Ответ: да, уравнения равносильны.

93. Докажите, что для нечётных чисел $a, b, c, d, e, f$ не может выполняться равенство $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + \frac{1}{e} + \frac{1}{f} = 1.$

Докажем данное утверждение методом от противного. Предположим, что равенство $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + \frac{1}{e} + \frac{1}{f} = 1$ может выполняться для некоторых нечётных целых чисел $a, b, c, d, e, f$.

Приведём все дроби в левой части к общему знаменателю. В качестве общего знаменателя возьмём наименьшее общее кратное (НОК) чисел $a, b, c, d, e, f$. Обозначим его как $L = \text{НОК}(a, b, c, d, e, f)$.

Умножим обе части исходного равенства на $L$:

$\frac{L}{a} + \frac{L}{b} + \frac{L}{c} + \frac{L}{d} + \frac{L}{e} + \frac{L}{f} = L$

Теперь проанализируем чётность чисел в этом уравнении.

По условию, числа $a, b, c, d, e, f$ являются нечётными. Наименьшее общее кратное нескольких нечётных чисел также является нечётным числом, так как в его разложение на простые множители не может входить множитель 2. Следовательно, $L$ — нечётное число.

Рассмотрим каждое слагаемое в левой части, например, $\frac{L}{a}$. Так как $L$ делится на $a$, то частное $\frac{L}{a}$ является целым числом. Обозначим его $k_a$. Тогда $L = k_a \cdot a$. Поскольку произведение $k_a \cdot a$ равно нечётному числу $L$, и множитель $a$ является нечётным, то и множитель $k_a$ должен быть нечётным. Таким образом, слагаемое $\frac{L}{a}$ — нечётное число.

Аналогично доказывается, что все остальные слагаемые в левой части — $\frac{L}{b}, \frac{L}{c}, \frac{L}{d}, \frac{L}{e}, \frac{L}{f}$ — также являются нечётными числами.

Следовательно, в левой части уравнения стоит сумма шести нечётных чисел. Сумма чётного количества нечётных слагаемых всегда является чётным числом:

$(\text{нечёт} + \text{нечёт}) + (\text{нечёт} + \text{нечёт}) + (\text{нечёт} + \text{нечёт}) = \text{чёт} + \text{чёт} + \text{чёт} = \text{чёт}$

Таким образом, левая часть уравнения — чётное число.

Правая часть уравнения равна $L$, которое, как мы установили, является нечётным числом.

В результате мы получаем противоречие: чётное число должно равняться нечётному числу. Это невозможно.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и равенство не может выполняться для нечётных чисел $a, b, c, d, e, f$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Приведение уравнения к общему знаменателю показывает, что чётное число (сумма шести нечётных слагаемых в левой части) должно быть равно нечётному числу (в правой части), что является противоречием.