Номер 89, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

89. Упростите выражение:

1) $6\sqrt{3} + \sqrt{27} - 3\sqrt{75};$

2) $(\sqrt{50} - 3\sqrt{2})\sqrt{2};$

3) $(2 - \sqrt{3})^2.$

1) $6\sqrt{3} + \sqrt{27} - 3\sqrt{75}$

Для упрощения данного выражения необходимо привести все слагаемые к виду $k\sqrt{3}$, где $k$ - некоторое число. Для этого вынесем множитель из-под знака корня в слагаемых $\sqrt{27}$ и $3\sqrt{75}$.

Разложим число 27 на множители: $27 = 9 \cdot 3$. Тогда $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.

Разложим число 75 на множители: $75 = 25 \cdot 3$. Тогда $3\sqrt{75} = 3\sqrt{25 \cdot 3} = 3 \cdot (\sqrt{25} \cdot \sqrt{3}) = 3 \cdot 5\sqrt{3} = 15\sqrt{3}$.

Теперь подставим упрощенные слагаемые обратно в исходное выражение:

$6\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 15\sqrt{3}$

Теперь мы можем сложить и вычесть слагаемые, так как они имеют общий множитель $\sqrt{3}$:

$(6 + 3 - 15)\sqrt{3} = (9 - 15)\sqrt{3} = -6\sqrt{3}$.

Ответ: $-6\sqrt{3}$.

2) $(\sqrt{50} - 3\sqrt{2})\sqrt{2}$

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого вынесем множитель из-под знака корня $\sqrt{50}$.

Разложим число 50 на множители: $50 = 25 \cdot 2$. Тогда $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

Подставим это значение в скобки:

$(5\sqrt{2} - 3\sqrt{2})\sqrt{2}$

Выполним вычитание в скобках:

$(5 - 3)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Теперь умножим полученный результат на $\sqrt{2}$:

$(2\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = 2 \cdot 2 = 4$.

Ответ: $4$.

3) $(2 - \sqrt{3})^2$

Для раскрытия скобок воспользуемся формулой квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a=2$ и $b=\sqrt{3}$.

Подставляем значения в формулу:

$(2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$.

Вычисляем каждый член выражения:

$2^2 = 4$

$2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

$(\sqrt{3})^2 = 3$

Собираем все вместе:

$4 - 4\sqrt{3} + 3$.

Сложим числовые слагаемые:

$(4 + 3) - 4\sqrt{3} = 7 - 4\sqrt{3}$.

Ответ: $7 - 4\sqrt{3}$.