Номер 83, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

83. Известно, что $b > 0$ и $a > b$. Является ли верным при всех указанных значениях $a$ и $b$ неравенство:

1) $a^2 + a > b^2 + b$;

3) $2 - a^2 < 2 - b^2$;

2) $a^2 - a > b^2 - b$;

4) $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$?

По условию задачи даны два неравенства: $b > 0$ и $a > b$. Из этих двух условий следует, что $a$ также больше нуля, то есть $a > b > 0$. Проверим каждое из предложенных неравенств.

1) $a^2 + a > b^2 + b$

Рассмотрим это неравенство. Перенесем все члены в левую часть:
$a^2 - b^2 + a - b > 0$
Сгруппируем члены и разложим на множители разность квадратов:
$(a^2 - b^2) + (a - b) > 0$
$(a - b)(a + b) + (a - b) > 0$
Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:
$(a - b)(a + b + 1) > 0$
Теперь проанализируем знаки множителей:
1. По условию $a > b$, следовательно, $a - b > 0$.
2. По условию $a > 0$ и $b > 0$, следовательно, их сумма $a + b > 0$. Тогда $a + b + 1$ тем более больше нуля.
Произведение двух положительных множителей всегда положительно. Таким образом, неравенство $(a - b)(a + b + 1) > 0$ является верным при всех заданных условиях.
Альтернативно, можно рассмотреть функцию $f(x) = x^2 + x$. Ее производная $f'(x) = 2x + 1$. При $x > 0$ производная $f'(x) > 0$, что означает, что функция является возрастающей на всей области положительных чисел. Поскольку $a > b > 0$, то и значение функции в точке $a$ будет больше значения функции в точке $b$, то есть $f(a) > f(b)$, что и требовалось доказать.
Ответ: Да, является.

2) $a^2 - a > b^2 - b$

Преобразуем неравенство аналогично предыдущему пункту:
$a^2 - b^2 - a + b > 0$
$(a - b)(a + b) - (a - b) > 0$
$(a - b)(a + b - 1) > 0$
Мы знаем, что $a - b > 0$. Следовательно, верность этого неравенства зависит от знака второго множителя $(a + b - 1)$. Неравенство будет верным только если $a + b - 1 > 0$, то есть $a + b > 1$.
Однако условие $a + b > 1$ не всегда выполняется. Найдем контрпример.
Возьмем значения $a$ и $b$, удовлетворяющие условиям $a > b > 0$, но для которых $a + b \le 1$.
Пусть $a = 0,3$ и $b = 0,2$. Условия $0,3 > 0,2 > 0$ выполнены.
Их сумма $a + b = 0,3 + 0,2 = 0,5$, что меньше 1.
Подставим эти значения в исходное неравенство:
$(0,3)^2 - 0,3 > (0,2)^2 - 0,2$
$0,09 - 0,3 > 0,04 - 0,2$
$-0,21 > -0,16$
Это неравенство неверно. Следовательно, данное неравенство выполняется не при всех указанных значениях $a$ и $b$.
Ответ: Нет, не является.

3) $2 - a^2 < 2 - b^2$

Упростим данное неравенство. Вычтем 2 из обеих частей:
$-a^2 < -b^2$
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:
$a^2 > b^2$
По условию $a > b > 0$. Так как и $a$, и $b$ являются положительными числами, мы можем возвести обе части неравенства $a > b$ в квадрат, не меняя знака неравенства.
$a > b \implies a^2 > b^2$.
Так как полученное неравенство всегда верно при заданных условиях, то и исходное неравенство также всегда верно.
Ответ: Да, является.

4) $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$(a - b) + (\frac{1}{a} - \frac{1}{b}) > 0$
$(a - b) + \frac{b - a}{ab} > 0$
$(a - b) - \frac{a - b}{ab} > 0$
Вынесем общий множитель $(a - b)$:
$(a - b)(1 - \frac{1}{ab}) > 0$
Мы знаем, что $a - b > 0$. Значит, неравенство будет верным, только если $1 - \frac{1}{ab} > 0$, что эквивалентно $1 > \frac{1}{ab}$, или $ab > 1$.
Однако условие $ab > 1$ не всегда выполняется. Найдем контрпример.
Рассмотрим функцию $f(x) = x + \frac{1}{x}$. Ее производная $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$. На интервале $(0, 1)$ производная отрицательна, следовательно, функция убывает.
Возьмем значения $a$ и $b$ из интервала $(0, 1)$, удовлетворяющие условию $a > b > 0$.
Пусть $a = 0,5$ и $b = 0,4$. Условия $0,5 > 0,4 > 0$ выполнены.
Их произведение $ab = 0,5 \cdot 0,4 = 0,2$, что меньше 1.
Подставим эти значения в исходное неравенство:
$0,5 + \frac{1}{0,5} > 0,4 + \frac{1}{0,4}$
$0,5 + 2 > 0,4 + 2,5$
$2,5 > 2,9$
Это неравенство неверно. Следовательно, данное неравенство выполняется не при всех указанных значениях $a$ и $b$.
Ответ: Нет, не является.