Номер 82, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

82. Докажите, что если $ \frac{1}{a} > \frac{1}{b} > 0 $, то $ a < b $.

Нам дано двойное неравенство $ \frac{1}{a} > \frac{1}{b} > 0 $.

Рассмотрим правую часть этого неравенства: $ \frac{1}{b} > 0 $. Дробь положительна, если ее числитель и знаменатель имеют одинаковый знак. Поскольку числитель равен 1 (положительное число), то и знаменатель $b$ должен быть положительным. Следовательно, $b > 0$.

Теперь рассмотрим левую часть неравенства: $ \frac{1}{a} > \frac{1}{b} $. Поскольку мы уже знаем, что $ \frac{1}{b} > 0 $, то из этого следует, что $ \frac{1}{a} $ также должно быть положительным числом, то есть $ \frac{1}{a} > 0 $. Аналогично предыдущему пункту, это означает, что и знаменатель $a$ должен быть положительным. Следовательно, $a > 0$.

Итак, мы установили, что оба числа, $a$ и $b$, являются положительными.

Вернемся к неравенству $ \frac{1}{a} > \frac{1}{b} $. Мы можем умножить обе части неравенства на любое положительное число, и при этом знак неравенства сохранится. Умножим обе части на произведение $ab$. Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, их произведение $ab$ также будет положительным ($ab > 0$).

$ \frac{1}{a} \cdot (ab) > \frac{1}{b} \cdot (ab) $

После сокращения дробей в обеих частях неравенства получаем:

$ b > a $

Данное неравенство эквивалентно записи $ a < b $, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Так как из $ \frac{1}{b} > 0 $ следует, что $ b > 0 $, а из $ \frac{1}{a} > \frac{1}{b} $ следует, что $ a > 0 $, то, умножая неравенство $ \frac{1}{a} > \frac{1}{b} $ на положительное число $ ab $, получаем $ b > a $, что равносильно $ a < b $.