Номер 85, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

85. Докажите, что:

1) $ \sqrt{55} + \sqrt{35} > \sqrt{120} $;

2) $ \sqrt{119} - \sqrt{67} < 3 $.

1) Докажем неравенство $\sqrt{55} + \sqrt{35} > \sqrt{120}$.
Обе части неравенства являются положительными числами, поэтому мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства сохранится.
Возведем в квадрат левую часть:
$(\sqrt{55} + \sqrt{35})^2 = (\sqrt{55})^2 + 2 \cdot \sqrt{55} \cdot \sqrt{35} + (\sqrt{35})^2 = 55 + 2\sqrt{55 \cdot 35} + 35 = 90 + 2\sqrt{1925}$.
Возведем в квадрат правую часть:
$(\sqrt{120})^2 = 120$.
Теперь необходимо доказать неравенство:
$90 + 2\sqrt{1925} > 120$
Вычтем 90 из обеих частей неравенства:
$2\sqrt{1925} > 30$
Разделим обе части на 2:
$\sqrt{1925} > 15$
Снова возведем обе части в квадрат, так как они обе положительны:
$(\sqrt{1925})^2 > 15^2$
$1925 > 225$
Мы получили верное числовое неравенство. Поскольку все преобразования были равносильными (мы возводили в квадрат только положительные числа), то и исходное неравенство верно.
Ответ: что и требовалось доказать.

2) Докажем неравенство $\sqrt{119} - \sqrt{67} < 3$.
Преобразуем неравенство так, чтобы обе его части были положительными. Для этого перенесем $\sqrt{67}$ в правую часть:
$\sqrt{119} < 3 + \sqrt{67}$
Теперь обе части неравенства положительны, и мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства.
Левая часть в квадрате: $(\sqrt{119})^2 = 119$.
Правая часть в квадрате: $(3 + \sqrt{67})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{67} + (\sqrt{67})^2 = 9 + 6\sqrt{67} + 67 = 76 + 6\sqrt{67}$.
Неравенство принимает вид:
$119 < 76 + 6\sqrt{67}$
Вычтем 76 из обеих частей:
$119 - 76 < 6\sqrt{67}$
$43 < 6\sqrt{67}$
Обе части полученного неравенства положительны, поэтому мы снова можем возвести их в квадрат:
$43^2 < (6\sqrt{67})^2$
$1849 < 36 \cdot 67$
Вычислим правую часть: $36 \cdot 67 = 2412$.
$1849 < 2412$
Мы получили верное числовое неравенство. Так как все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство верно.
Ответ: что и требовалось доказать.