Номер 87, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

87. Сравните:

1) $\sqrt{6} + \sqrt{3}$ и $\sqrt{7} + \sqrt{2}$;

2) $\sqrt{26} - \sqrt{2}$ и $\sqrt{14}$.

1) Сравним числа $\sqrt{6} + \sqrt{3}$ и $\sqrt{7} + \sqrt{2}$.

Оба выражения являются положительными, поэтому мы можем сравнить их квадраты. Знак неравенства между квадратами будет таким же, как и между исходными числами.

Возведем в квадрат первое выражение:
$(\sqrt{6} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 6 + 2\sqrt{18} + 3 = 9 + 2\sqrt{18}$.

Возведем в квадрат второе выражение:
$(\sqrt{7} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 7 + 2\sqrt{14} + 2 = 9 + 2\sqrt{14}$.

Теперь сравним полученные выражения: $9 + 2\sqrt{18}$ и $9 + 2\sqrt{14}$.
Отбросим общий член 9 и сравним $2\sqrt{18}$ и $2\sqrt{14}$.
Разделим оба выражения на 2 и сравним $\sqrt{18}$ и $\sqrt{14}$.
Так как функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей для $x > 0$, то чем больше подкоренное выражение, тем больше значение корня.

Сравниваем подкоренные выражения: $18 > 14$.
Следовательно, $\sqrt{18} > \sqrt{14}$.
Проводя сравнение в обратном порядке, получаем:
$2\sqrt{18} > 2\sqrt{14}$
$9 + 2\sqrt{18} > 9 + 2\sqrt{14}$
$(\sqrt{6} + \sqrt{3})^2 > (\sqrt{7} + \sqrt{2})^2$
Поскольку исходные выражения положительны, то $\sqrt{6} + \sqrt{3} > \sqrt{7} + \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{6} + \sqrt{3} > \sqrt{7} + \sqrt{2}$.

2) Сравним числа $\sqrt{26} - \sqrt{2}$ и $\sqrt{14}$.

Сначала убедимся, что первое выражение положительно. Так как $26 > 2$, то $\sqrt{26} > \sqrt{2}$, и их разность $\sqrt{26} - \sqrt{2} > 0$. Второе число, $\sqrt{14}$, также положительно.

Чтобы упростить сравнение, преобразуем неравенство. Сравнение $\sqrt{26} - \sqrt{2}$ и $\sqrt{14}$ эквивалентно сравнению $\sqrt{26}$ и $\sqrt{14} + \sqrt{2}$ (мы прибавили $\sqrt{2}$ к обеим частям предполагаемого неравенства).

Так как обе части нового сравнения, $\sqrt{26}$ и $\sqrt{14} + \sqrt{2}$, положительны, мы можем сравнить их квадраты.

Квадрат первого выражения: $(\sqrt{26})^2 = 26$.

Квадрат второго выражения: $(\sqrt{14} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{14})^2 + 2 \cdot \sqrt{14} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 14 + 2\sqrt{28} + 2 = 16 + 2\sqrt{28}$.

Теперь сравним $26$ и $16 + 2\sqrt{28}$.
Вычтем 16 из обеих частей: $26 - 16$ и $2\sqrt{28}$, что дает $10$ и $2\sqrt{28}$.
Разделим обе части на 2: $5$ и $\sqrt{28}$.
Чтобы сравнить $5$ и $\sqrt{28}$, возведем их в квадрат: $5^2 = 25$ и $(\sqrt{28})^2 = 28$.

Поскольку $25 < 28$, то и $5 < \sqrt{28}$.
Проводя сравнение в обратном порядке, получаем:
$10 < 2\sqrt{28}$
$16 + 10 < 16 + 2\sqrt{28}$
$26 < 16 + 2\sqrt{28}$
$(\sqrt{26})^2 < (\sqrt{14} + \sqrt{2})^2$
Поскольку выражения $\sqrt{26}$ и $\sqrt{14} + \sqrt{2}$ положительны, то $\sqrt{26} < \sqrt{14} + \sqrt{2}$.
Вернувшись к исходному сравнению, получаем $\sqrt{26} - \sqrt{2} < \sqrt{14}$.

Ответ: $\sqrt{26} - \sqrt{2} < \sqrt{14}$.