Номер 80, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

80. Докажите, что сумма двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника меньше суммы его диагоналей.

Пусть дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Это свойство следует из определения выпуклого четырёхугольника (все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины).

Задача состоит в том, чтобы доказать, что сумма длин двух противоположных сторон меньше суммы длин диагоналей. В четырёхугольнике $ABCD$ есть две пары противоположных сторон: ($AB$ и $CD$) и ($BC$ и $DA$). Докажем утверждение для одной из пар, например, для $AB$ и $CD$. То есть, нам нужно доказать неравенство: $AB + CD < AC + BD$.

Для доказательства воспользуемся ключевым свойством — неравенством треугольника, которое гласит, что любая сторона треугольника всегда меньше суммы двух других его сторон.

Рассмотрим треугольник $AOB$, образованный отрезками диагоналей $AO$, $OB$ и стороной четырёхугольника $AB$. Применим к нему неравенство треугольника:
$AB < AO + OB$

Теперь рассмотрим треугольник $COD$, образованный отрезками диагоналей $CO$, $OD$ и стороной $CD$. Аналогично применим неравенство треугольника:
$CD < CO + OD$

Теперь сложим два полученных неравенства. Складываем левые части с левыми, а правые — с правыми:
$AB + CD < (AO + OB) + (CO + OD)$

Сгруппируем слагаемые в правой части полученного неравенства для удобства:
$AB + CD < (AO + CO) + (OB + OD)$

Поскольку точка $O$ лежит на диагонали $AC$, сумма длин отрезков $AO$ и $CO$ равна длине всей диагонали $AC$. Аналогично, для диагонали $BD$ сумма длин отрезков $OB$ и $OD$ равна длине всей диагонали $BD$.
$AO + CO = AC$
$OB + OD = BD$

Подставим эти равенства в наше неравенство и получим то, что требовалось доказать:
$AB + CD < AC + BD$

Доказательство для второй пары противоположных сторон ($BC$ и $DA$) проводится точно так же, но с использованием треугольников $BOC$ и $DOA$. Из них мы получаем неравенства $BC < BO + OC$ и $DA < DO + OA$. Сложив их, мы приходим к выводу, что $BC + DA < BD + AC$.

Таким образом, утверждение доказано для любой пары противоположных сторон выпуклого четырёхугольника.

Ответ: Пусть $ABCD$ — выпуклый четырёхугольник, и $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. Применим неравенство треугольника к треугольникам $AOB$ и $COD$. Получим $AB < AO + OB$ и $CD < CO + OD$. Сложив эти неравенства, имеем: $AB + CD < AO + OB + CO + OD$. Сгруппировав слагаемые в правой части, получаем $AB + CD < (AO + CO) + (OB + OD)$. Так как $AO + CO = AC$ и $OB + OD = BD$ (по свойству отрезка), то окончательно получаем $AB + CD < AC + BD$. Утверждение для второй пары противоположных сторон ($BC$ и $DA$) доказывается аналогично с использованием треугольников $BOC$ и $DOA$.