Номер 76, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

76. Дано: $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$ и $\frac{1}{7} < y < \frac{1}{4}$. Оцените значение выражения:

1) $6x + 14y$;

2) $28y - 12x$;

3) $\frac{y}{x}$.

1) 6x + 14y;

Для того чтобы оценить выражение $6x + 14y$, оценим сначала каждое слагаемое по отдельности, используя данные неравенства.

Известно, что $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$. Умножим все части этого двойного неравенства на положительное число 6:

$6 \cdot \frac{1}{3} < 6x < 6 \cdot \frac{1}{2}$

$2 < 6x < 3$

Также известно, что $\frac{1}{7} < y < \frac{1}{4}$. Умножим все части этого двойного неравенства на положительное число 14:

$14 \cdot \frac{1}{7} < 14y < 14 \cdot \frac{1}{4}$

$2 < 14y < \frac{14}{4}$

$2 < 14y < \frac{7}{2}$ или $2 < 14y < 3.5$

Теперь сложим почленно полученные неравенства $2 < 6x < 3$ и $2 < 14y < 3.5$. При сложении неравенств одного знака складываются их левые, средние и правые части соответственно:

$2 + 2 < 6x + 14y < 3 + 3.5$

$4 < 6x + 14y < 6.5$

Ответ: $4 < 6x + 14y < 6.5$.

2) 28y - 12x;

Чтобы оценить разность, представим ее в виде суммы $28y + (-12x)$. Сначала оценим значения $28y$ и $-12x$.

Из неравенства $\frac{1}{7} < y < \frac{1}{4}$ путем умножения на 28 получаем:

$28 \cdot \frac{1}{7} < 28y < 28 \cdot \frac{1}{4}$

$4 < 28y < 7$

Из неравенства $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$ сначала найдем оценку для $12x$, умножив на 12:

$12 \cdot \frac{1}{3} < 12x < 12 \cdot \frac{1}{2}$

$4 < 12x < 6$

Теперь найдем оценку для $-12x$. Для этого умножим неравенство $4 < 12x < 6$ на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-6 < -12x < -4$

Теперь сложим почленно неравенства для $28y$ и $-12x$:

$4 < 28y < 7$

$-6 < -12x < -4$

$4 + (-6) < 28y + (-12x) < 7 + (-4)$

$-2 < 28y - 12x < 3$

Ответ: $-2 < 28y - 12x < 3$.

3) $\frac{y}{x}$.

Чтобы оценить частное $\frac{y}{x}$, можно представить его как произведение $y \cdot \frac{1}{x}$.

У нас есть оценка для $y$: $\frac{1}{7} < y < \frac{1}{4}$.

Найдем оценку для $\frac{1}{x}$. Дано $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$. Так как все части неравенства положительны, мы можем взять обратные величины, изменив при этом знаки неравенства на противоположные:

$\frac{1}{1/2} < \frac{1}{x} < \frac{1}{1/3}$

$2 < \frac{1}{x} < 3$

Теперь, так как все части неравенств $\frac{1}{7} < y < \frac{1}{4}$ и $2 < \frac{1}{x} < 3$ положительны, мы можем их почленно перемножить:

$\frac{1}{7} \cdot 2 < y \cdot \frac{1}{x} < \frac{1}{4} \cdot 3$

$\frac{2}{7} < \frac{y}{x} < \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{2}{7} < \frac{y}{x} < \frac{3}{4}$.