Номер 78, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

78. Докажите, что периметр четырехугольника больше суммы его диагоналей.

Пусть дан произвольный четырехугольник $ABCD$. Его сторонами являются отрезки $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$. Его диагоналями являются отрезки $AC$ и $BD$. Периметр четырехугольника $P$ равен сумме длин его сторон: $P = AB + BC + CD + DA$. Необходимо доказать, что периметр четырехугольника больше суммы его диагоналей, то есть: $P > AC + BD$.

Доказательство основано на применении неравенства треугольника, которое гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Рассмотрим треугольники, которые образуются при проведении диагоналей.

1. Диагональ $AC$ делит четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Применим к каждому из них неравенство треугольника:
Для $\triangle ABC$: $AB + BC > AC$ (1)
Для $\triangle ADC$: $CD + DA > AC$ (2)

2. Диагональ $BD$ делит четырехугольник на два других треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$. Снова применим неравенство треугольника:
Для $\triangle ABD$: $AB + DA > BD$ (3)
Для $\triangle BCD$: $BC + CD > BD$ (4)

Теперь сложим почленно все четыре полученных неравенства: (1), (2), (3) и (4).
$(AB + BC) + (CD + DA) + (AB + DA) + (BC + CD) > AC + AC + BD + BD$

Сгруппируем слагаемые в левой части и упростим обе части неравенства:
$2AB + 2BC + 2CD + 2DA > 2AC + 2BD$

Вынесем общий множитель 2 за скобки в обеих частях:
$2(AB + BC + CD + DA) > 2(AC + BD)$

Разделим обе части неравенства на 2 (знак неравенства при делении на положительное число не меняется):
$AB + BC + CD + DA > AC + BD$

Так как левая часть неравенства представляет собой периметр четырехугольника $P$, мы доказали, что периметр четырехугольника больше суммы его диагоналей. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Для доказательства необходимо рассмотреть четыре треугольника ($\triangle ABC, \triangle ADC, \triangle ABD$ и $\triangle BCD$), образованных сторонами и диагоналями четырехугольника. Применив к каждому из них неравенство треугольника и сложив полученные четыре неравенства, после упрощения получаем искомое соотношение: $AB + BC + CD + DA > AC + BD$.