Номер 93, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

93. Докажите, что для нечётных чисел $a, b, c, d, e, f$ не может выполняться равенство $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + \frac{1}{e} + \frac{1}{f} = 1.$

Докажем данное утверждение методом от противного. Предположим, что равенство $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + \frac{1}{e} + \frac{1}{f} = 1$ может выполняться для некоторых нечётных целых чисел $a, b, c, d, e, f$.

Приведём все дроби в левой части к общему знаменателю. В качестве общего знаменателя возьмём наименьшее общее кратное (НОК) чисел $a, b, c, d, e, f$. Обозначим его как $L = \text{НОК}(a, b, c, d, e, f)$.

Умножим обе части исходного равенства на $L$:

$\frac{L}{a} + \frac{L}{b} + \frac{L}{c} + \frac{L}{d} + \frac{L}{e} + \frac{L}{f} = L$

Теперь проанализируем чётность чисел в этом уравнении.

По условию, числа $a, b, c, d, e, f$ являются нечётными. Наименьшее общее кратное нескольких нечётных чисел также является нечётным числом, так как в его разложение на простые множители не может входить множитель 2. Следовательно, $L$ — нечётное число.

Рассмотрим каждое слагаемое в левой части, например, $\frac{L}{a}$. Так как $L$ делится на $a$, то частное $\frac{L}{a}$ является целым числом. Обозначим его $k_a$. Тогда $L = k_a \cdot a$. Поскольку произведение $k_a \cdot a$ равно нечётному числу $L$, и множитель $a$ является нечётным, то и множитель $k_a$ должен быть нечётным. Таким образом, слагаемое $\frac{L}{a}$ — нечётное число.

Аналогично доказывается, что все остальные слагаемые в левой части — $\frac{L}{b}, \frac{L}{c}, \frac{L}{d}, \frac{L}{e}, \frac{L}{f}$ — также являются нечётными числами.

Следовательно, в левой части уравнения стоит сумма шести нечётных чисел. Сумма чётного количества нечётных слагаемых всегда является чётным числом:

$(\text{нечёт} + \text{нечёт}) + (\text{нечёт} + \text{нечёт}) + (\text{нечёт} + \text{нечёт}) = \text{чёт} + \text{чёт} + \text{чёт} = \text{чёт}$

Таким образом, левая часть уравнения — чётное число.

Правая часть уравнения равна $L$, которое, как мы установили, является нечётным числом.

В результате мы получаем противоречие: чётное число должно равняться нечётному числу. Это невозможно.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и равенство не может выполняться для нечётных чисел $a, b, c, d, e, f$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Приведение уравнения к общему знаменателю показывает, что чётное число (сумма шести нечётных слагаемых в левой части) должно быть равно нечётному числу (в правой части), что является противоречием.