Номер 5, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

5. Какие неравенства называют равносильными?

Два неравенства называют равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают.

Другими словами, любое число, которое является решением первого неравенства, должно быть и решением второго, и наоборот, любое решение второго неравенства должно быть решением первого. Важным частным случаем является ситуация, когда оба неравенства не имеют решений. В этом случае их общее множество решений — пустое множество ($\emptyset$), и они также считаются равносильными.

Процесс решения неравенства обычно состоит в последовательной замене исходного неравенства более простыми, но равносильными ему неравенствами.

Примеры равносильных неравенств:
1. Неравенства $x + 3 > 8$ и $x > 5$.
Решением обоих неравенств является множество всех чисел, больших 5, то есть числовой промежуток $(5; +\infty)$. Так как множества решений совпадают, неравенства равносильны.

2. Неравенства $4x \le 20$ и $x \le 5$.
Второе неравенство получено из первого делением обеих частей на положительное число 4, что является равносильным преобразованием. Множество решений для обоих неравенств — $(-\infty; 5]$.

3. Неравенства $-x < -2$ и $x > 2$.
Второе неравенство получено из первого умножением обеих частей на -1 с одновременным изменением знака неравенства на противоположный. Это также равносильное преобразование. Множество решений для обоих — $(2; +\infty)$.

4. Неравенства $|x| < -2$ и $x^2 + 1 < 0$.
Оба неравенства не имеют решений в области действительных чисел. Множество решений для каждого из них — пустое ($\emptyset$). Следовательно, они равносильны.

Пример НЕ равносильных неравенств:
Неравенства $x^2 > 4$ и $x > 2$.
Множество решений первого неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.
Множество решений второго неравенства: $x \in (2; +\infty)$.
Поскольку множества решений не совпадают (например, число -3 является решением первого неравенства, но не является решением второго), эти неравенства не являются равносильными.

Ответ: Равносильными называют неравенства, у которых множества решений полностью совпадают.