Номер 4, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Когда множеством решений неравенства является пустое множество?

Множеством решений неравенства является пустое множество (обозначается как $ \emptyset $), если не существует ни одного значения переменной, при подстановке которого неравенство обращается в верное числовое неравенство. Это происходит в двух основных случаях:

1. В результате тождественных преобразований неравенство сводится к очевидно неверному числовому утверждению (например, $5 < 3$ или $0 > 1$).
2. Область допустимых значений (ОДЗ) переменной для данного неравенства является пустым множеством.

Рассмотрим конкретные типы неравенств.

Линейные неравенства

Линейное неравенство вида $ax + b > 0$ (или с другими знаками: $<, \ge, \le$) не имеет решений, если в процессе преобразований коэффициент при переменной $x$ обращается в ноль, а оставшееся числовое неравенство является неверным.

Общий вид такого неравенства после упрощения: $0 \cdot x > c$.

• Если $c \ge 0$, то неравенство $0 > c$ неверно, и решений нет.
• Аналогично, неравенство $0 \cdot x \ge c$ не имеет решений при $c > 0$.
• Неравенство $0 \cdot x < c$ не имеет решений при $c \le 0$.
• Неравенство $0 \cdot x \le c$ не имеет решений при $c < 0$.

Пример:

Решим неравенство $5(x-2) - 1 > 5x + 3$.

$5x - 10 - 1 > 5x + 3$

$5x - 11 > 5x + 3$

Перенесем слагаемые с переменной в одну часть, а числа — в другую:

$5x - 5x > 3 + 11$

$0 \cdot x > 14$

$0 > 14$

Получено неверное числовое неравенство, следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: Множество решений — $ \emptyset $.

Квадратные неравенства

Решение квадратного неравенства $ax^2 + bx + c > 0$ (или с другими знаками) геометрически означает поиск интервалов, на которых график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ (парабола) расположен выше (или ниже) оси абсцисс. Неравенство не имеет решений, если вся парабола целиком лежит в полуплоскости, не соответствующей знаку неравенства. Это зависит от направления ветвей параболы (знака коэффициента $a$) и дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

• Неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ не имеет решений, если парабола не имеет точек ниже оси Ox. Это возможно, если ветви параболы направлены вверх ($a > 0$) и она не пересекает ось Ox ($D < 0$) или только касается ее ($D = 0$). Условие: $a > 0$ и $D \le 0$.
• Неравенство $ax^2 + bx + c > 0$ не имеет решений, если парабола не имеет точек выше оси Ox. Это возможно, если ветви параболы направлены вниз ($a < 0$) и она не пересекает ось Ox ($D < 0$) или только касается ее ($D = 0$). Условие: $a < 0$ и $D \le 0$.
• Неравенство $ax^2 + bx + c \le 0$ не имеет решений, если парабола целиком лежит строго выше оси Ox. Условие: $a > 0$ и $D < 0$.
• Неравенство $ax^2 + bx + c \ge 0$ не имеет решений, если парабола целиком лежит строго ниже оси Ox. Условие: $a < 0$ и $D < 0$.

Пример:

Решим неравенство $x^2 + 2x + 3 < 0$.

Это квадратное неравенство с $a=1, b=2, c=3$.

Коэффициент $a=1 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Поскольку $D < 0$, парабола не пересекает ось Ox. Так как ветви направлены вверх, вся парабола расположена в верхней полуплоскости, то есть значения функции $y = x^2 + 2x + 3$ всегда положительны. Следовательно, не существует таких $x$, при которых $x^2 + 2x + 3 < 0$.

Ответ: Множество решений — $ \emptyset $.

Неравенства с модулями и корнями

Такие неравенства могут не иметь решений из-за свойств самих функций.

1. Модуль: Значение модуля всегда неотрицательно, то есть $|f(x)| \ge 0$. Поэтому, если модуль сравнивается с отрицательным числом, решений может не быть.
   • $|f(x)| < c$ при $c \le 0$. Решений нет. Пример: $|x+5| < -2$.
   • $|f(x)| \le c$ при $c < 0$. Решений нет. Пример: $|3x-1| \le -10$.
2. Арифметический квадратный корень: Значение корня также неотрицательно: $\sqrt{f(x)} \ge 0$.
   • $\sqrt{f(x)} < c$ при $c \le 0$. Решений нет. Пример: $\sqrt{x} < 0$.
   • $\sqrt{f(x)} \le c$ при $c < 0$. Решений нет. Пример: $\sqrt{x-4} \le -1$.
3. Область допустимых значений (ОДЗ): Неравенство не имеет решений, если его ОДЗ — пустое множество.

   Пример: $\sqrt{x-5} + \sqrt{2-x} > 1$.

   Найдем ОДЗ. Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

   $ \begin{cases} x-5 \ge 0 \\ 2-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 5 \\ x \le 2 \end{cases} $

   Не существует числа, которое одновременно больше или равно 5 и меньше или равно 2. Таким образом, ОДЗ является пустым множеством. Раз не существует допустимых значений $x$, то и решений у неравенства быть не может.

Ответ: Неравенство с модулем или корнем не имеет решений, если оно противоречит базовым свойствам этих функций (например, неотрицательности) или если его область допустимых значений пуста.

Системы неравенств

Система неравенств не имеет решений, если множества решений отдельных неравенств, входящих в систему, не пересекаются. То есть, не существует значения переменной, которое удовлетворяло бы всем неравенствам системы одновременно.

Пример:

$ \begin{cases} 3x - 9 > 0 \\ x + 2 < 4 \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности:

$ \begin{cases} 3x > 9 \\ x < 4 - 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x < 2 \end{cases} $

Нужно найти числа, которые одновременно строго больше 3 и строго меньше 2. На числовой прямой эти два интервала ($(3; +\infty)$ и $(-\infty; 2)$) не имеют общих точек.

Ответ: Система не имеет решений, так как пересечение множеств решений ее неравенств является пустым множеством.