Страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что называют решением неравенства с одной переменной?

1. Решением неравенства с одной переменной называется значение этой переменной, при подстановке которого в исходное неравенство получается верное числовое неравенство.

Процесс нахождения всех решений неравенства (или доказательства, что их нет) называется решением неравенства. В отличие от уравнений, которые часто имеют одно или несколько конкретных решений, неравенства обычно имеют бесконечное множество решений, которое представляет собой числовой промежуток или объединение промежутков.

Рассмотрим пример. Пусть дано неравенство:

$2x - 1 > 5$

Проверим, является ли число $x=4$ решением этого неравенства. Для этого подставим значение $4$ вместо переменной $x$:

$2 \cdot 4 - 1 > 5$

$8 - 1 > 5$

$7 > 5$

Мы получили верное числовое неравенство ($7$ действительно больше $5$), следовательно, значение $x=4$ является решением данного неравенства.

Теперь проверим значение $x=1$:

$2 \cdot 1 - 1 > 5$

$2 - 1 > 5$

$1 > 5$

Это неверное числовое неравенство, так как $1$ не больше $5$. Значит, $x=1$ не является решением.

Решив это неравенство, мы найдем все его решения:

$2x > 5 + 1$

$2x > 6$

$x > 3$

Таким образом, любое число, строго большее 3, является решением этого неравенства. Множество всех решений можно записать в виде интервала $(3; +\infty)$.

Ответ: Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое при подстановке в неравенство превращает его в верное числовое неравенство.

2. Что означает решить неравенство?

Решить неравенство — это значит найти все значения переменной (или нескольких переменных), при подстановке которых в исходное неравенство оно превращается в верное числовое неравенство. Также процесс решения включает в себя доказательство того, что других значений, удовлетворяющих неравенству, не существует.

Совокупность всех найденных значений называется множеством решений неравенства. В отличие от уравнений, решением которых часто является одно или несколько чисел, решением неравенства, как правило, выступает целый числовой промежуток или их объединение.

Рассмотрим процесс на примере неравенства:
$2x - 1 > 5$

1. Чтобы найти значения $x$, при которых это неравенство верно, выполним равносильные преобразования. Прибавим к обеим частям неравенства 1:
$2x - 1 + 1 > 5 + 1$
$2x > 6$

2. Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется:
$\frac{2x}{2} > \frac{6}{2}$
$x > 3$

Полученный результат $x > 3$ и есть решение неравенства. Это означает, что любое число, которое строго больше 3, будет обращать исходное неравенство в верное числовое высказывание. Например, при $x=4$ получаем $2 \cdot 4 - 1 = 7$, и $7 > 5$ (верно). При $x=3$ или $x < 3$ неравенство будет неверным.

Множество решений принято записывать в виде числового промежутка: $x \in (3; +\infty)$.

Если в ходе преобразований выясняется, что ни одно значение переменной не удовлетворяет условию (например, получается неверное числовое неравенство вида $0 > 5$), то говорят, что неравенство не имеет решений, а его множество решений является пустым ($\emptyset$).

Ответ: Решить неравенство — значит найти множество всех значений переменной, которые удовлетворяют данному неравенству, или доказать, что таких значений не существует.

3. Что образуют все решения неравенства?

Решением неравенства с одной переменной называется значение этой переменной, при подстановке которого неравенство обращается в верное числовое неравенство. Как правило, неравенство имеет не одно, а бесконечно много решений.

Совокупность всех решений неравенства образует множество решений неравенства. Это множество может представлять собой:

• Числовой промежуток. Это наиболее частый случай. В зависимости от вида неравенства, это может быть:

  • Интервал, например, $x \in (a, b)$, что соответствует строгому неравенству $a < x < b$.

  • Отрезок, например, $x \in [a, b]$, что соответствует нестрогому неравенству $a \leq x \leq b$.

  • Полуинтервал, например, $x \in [a, b)$ или $x \in (a, b]$, что соответствует смешанным неравенствам $a \leq x < b$ или $a < x \leq b$.

  • Луч, например, $x \in (a, +\infty)$ или $x \in (-\infty, a]$, что соответствует неравенствам $x > a$ или $x \leq a$.

• Объединение нескольких числовых промежутков. Например, решение неравенства $(x-1)(x-5) > 0$ представляет собой объединение двух лучей: $x \in (-\infty, 1) \cup (5, +\infty)$.

• Множество, состоящее из одного числа. Например, неравенство $x^2 \leq 0$ имеет единственное решение $x=0$.

• Пустое множество ($\emptyset$). Это означает, что неравенство не имеет решений. Например, неравенство $x^2 < -1$.

• Вся числовая прямая ($\mathbb{R}$). Это означает, что любое действительное число является решением. Например, для неравенства $x^2 \geq 0$ решением является любое число, т.е. $x \in (-\infty, +\infty)$.

Таким образом, все решения неравенства образуют множество, которое чаще всего является числовым промежутком или их объединением.

Ответ: Все решения неравенства образуют множество решений, которое чаще всего представляет собой числовой промежуток (интервал, отрезок, луч) или объединение нескольких таких промежутков. В некоторых случаях множество решений может быть пустым, состоять из одного числа или представлять собой всю числовую прямую.

4. Когда множеством решений неравенства является пустое множество?

Множеством решений неравенства является пустое множество (обозначается как $ \emptyset $), если не существует ни одного значения переменной, при подстановке которого неравенство обращается в верное числовое неравенство. Это происходит в двух основных случаях:

1. В результате тождественных преобразований неравенство сводится к очевидно неверному числовому утверждению (например, $5 < 3$ или $0 > 1$).
2. Область допустимых значений (ОДЗ) переменной для данного неравенства является пустым множеством.

Рассмотрим конкретные типы неравенств.

Линейные неравенства

Линейное неравенство вида $ax + b > 0$ (или с другими знаками: $<, \ge, \le$) не имеет решений, если в процессе преобразований коэффициент при переменной $x$ обращается в ноль, а оставшееся числовое неравенство является неверным.

Общий вид такого неравенства после упрощения: $0 \cdot x > c$.

• Если $c \ge 0$, то неравенство $0 > c$ неверно, и решений нет.
• Аналогично, неравенство $0 \cdot x \ge c$ не имеет решений при $c > 0$.
• Неравенство $0 \cdot x < c$ не имеет решений при $c \le 0$.
• Неравенство $0 \cdot x \le c$ не имеет решений при $c < 0$.

Пример:

Решим неравенство $5(x-2) - 1 > 5x + 3$.

$5x - 10 - 1 > 5x + 3$

$5x - 11 > 5x + 3$

Перенесем слагаемые с переменной в одну часть, а числа — в другую:

$5x - 5x > 3 + 11$

$0 \cdot x > 14$

$0 > 14$

Получено неверное числовое неравенство, следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: Множество решений — $ \emptyset $.

Квадратные неравенства

Решение квадратного неравенства $ax^2 + bx + c > 0$ (или с другими знаками) геометрически означает поиск интервалов, на которых график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ (парабола) расположен выше (или ниже) оси абсцисс. Неравенство не имеет решений, если вся парабола целиком лежит в полуплоскости, не соответствующей знаку неравенства. Это зависит от направления ветвей параболы (знака коэффициента $a$) и дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

• Неравенство $ax^2 + bx + c < 0$ не имеет решений, если парабола не имеет точек ниже оси Ox. Это возможно, если ветви параболы направлены вверх ($a > 0$) и она не пересекает ось Ox ($D < 0$) или только касается ее ($D = 0$). Условие: $a > 0$ и $D \le 0$.
• Неравенство $ax^2 + bx + c > 0$ не имеет решений, если парабола не имеет точек выше оси Ox. Это возможно, если ветви параболы направлены вниз ($a < 0$) и она не пересекает ось Ox ($D < 0$) или только касается ее ($D = 0$). Условие: $a < 0$ и $D \le 0$.
• Неравенство $ax^2 + bx + c \le 0$ не имеет решений, если парабола целиком лежит строго выше оси Ox. Условие: $a > 0$ и $D < 0$.
• Неравенство $ax^2 + bx + c \ge 0$ не имеет решений, если парабола целиком лежит строго ниже оси Ox. Условие: $a < 0$ и $D < 0$.

Пример:

Решим неравенство $x^2 + 2x + 3 < 0$.

Это квадратное неравенство с $a=1, b=2, c=3$.

Коэффициент $a=1 > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Поскольку $D < 0$, парабола не пересекает ось Ox. Так как ветви направлены вверх, вся парабола расположена в верхней полуплоскости, то есть значения функции $y = x^2 + 2x + 3$ всегда положительны. Следовательно, не существует таких $x$, при которых $x^2 + 2x + 3 < 0$.

Ответ: Множество решений — $ \emptyset $.

Неравенства с модулями и корнями

Такие неравенства могут не иметь решений из-за свойств самих функций.

1. Модуль: Значение модуля всегда неотрицательно, то есть $|f(x)| \ge 0$. Поэтому, если модуль сравнивается с отрицательным числом, решений может не быть.
   • $|f(x)| < c$ при $c \le 0$. Решений нет. Пример: $|x+5| < -2$.
   • $|f(x)| \le c$ при $c < 0$. Решений нет. Пример: $|3x-1| \le -10$.
2. Арифметический квадратный корень: Значение корня также неотрицательно: $\sqrt{f(x)} \ge 0$.
   • $\sqrt{f(x)} < c$ при $c \le 0$. Решений нет. Пример: $\sqrt{x} < 0$.
   • $\sqrt{f(x)} \le c$ при $c < 0$. Решений нет. Пример: $\sqrt{x-4} \le -1$.
3. Область допустимых значений (ОДЗ): Неравенство не имеет решений, если его ОДЗ — пустое множество.

   Пример: $\sqrt{x-5} + \sqrt{2-x} > 1$.

   Найдем ОДЗ. Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

   $ \begin{cases} x-5 \ge 0 \\ 2-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 5 \\ x \le 2 \end{cases} $

   Не существует числа, которое одновременно больше или равно 5 и меньше или равно 2. Таким образом, ОДЗ является пустым множеством. Раз не существует допустимых значений $x$, то и решений у неравенства быть не может.

Ответ: Неравенство с модулем или корнем не имеет решений, если оно противоречит базовым свойствам этих функций (например, неотрицательности) или если его область допустимых значений пуста.

Системы неравенств

Система неравенств не имеет решений, если множества решений отдельных неравенств, входящих в систему, не пересекаются. То есть, не существует значения переменной, которое удовлетворяло бы всем неравенствам системы одновременно.

Пример:

$ \begin{cases} 3x - 9 > 0 \\ x + 2 < 4 \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности:

$ \begin{cases} 3x > 9 \\ x < 4 - 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x < 2 \end{cases} $

Нужно найти числа, которые одновременно строго больше 3 и строго меньше 2. На числовой прямой эти два интервала ($(3; +\infty)$ и $(-\infty; 2)$) не имеют общих точек.

Ответ: Система не имеет решений, так как пересечение множеств решений ее неравенств является пустым множеством.

5. Какие неравенства называют равносильными?

Два неравенства называют равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают.

Другими словами, любое число, которое является решением первого неравенства, должно быть и решением второго, и наоборот, любое решение второго неравенства должно быть решением первого. Важным частным случаем является ситуация, когда оба неравенства не имеют решений. В этом случае их общее множество решений — пустое множество ($\emptyset$), и они также считаются равносильными.

Процесс решения неравенства обычно состоит в последовательной замене исходного неравенства более простыми, но равносильными ему неравенствами.

Примеры равносильных неравенств:
1. Неравенства $x + 3 > 8$ и $x > 5$.
Решением обоих неравенств является множество всех чисел, больших 5, то есть числовой промежуток $(5; +\infty)$. Так как множества решений совпадают, неравенства равносильны.

2. Неравенства $4x \le 20$ и $x \le 5$.
Второе неравенство получено из первого делением обеих частей на положительное число 4, что является равносильным преобразованием. Множество решений для обоих неравенств — $(-\infty; 5]$.

3. Неравенства $-x < -2$ и $x > 2$.
Второе неравенство получено из первого умножением обеих частей на -1 с одновременным изменением знака неравенства на противоположный. Это также равносильное преобразование. Множество решений для обоих — $(2; +\infty)$.

4. Неравенства $|x| < -2$ и $x^2 + 1 < 0$.
Оба неравенства не имеют решений в области действительных чисел. Множество решений для каждого из них — пустое ($\emptyset$). Следовательно, они равносильны.

Пример НЕ равносильных неравенств:
Неравенства $x^2 > 4$ и $x > 2$.
Множество решений первого неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.
Множество решений второго неравенства: $x \in (2; +\infty)$.
Поскольку множества решений не совпадают (например, число -3 является решением первого неравенства, но не является решением второго), эти неравенства не являются равносильными.

Ответ: Равносильными называют неравенства, у которых множества решений полностью совпадают.