Страница 27 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Докажите неравенство:

1) $(a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \ge 4$, если $a > 0$ и $b > 0$;

2) $(a + b)(b + c)(a + c) \ge 8abc$, если $a \ge 0$, $b \ge 0$ и $c \ge 0$;

3) $(a^3 + b)(a + b^3) \ge 4a^2b^2$, если $a \ge 0$ и $b \ge 0$;

4) $(ab + 1)(a + b) \ge 4ab$, если $a \ge 0$ и $b \ge 0$;

5) $(a + 2)(b + 5)(c + 10) \ge 80 \sqrt{abc}$, если $a \ge 0$, $b \ge 0$ и $c \ge 0$;

6) $a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge 4$, если $a > 0$ и $b > 0$;

7) $(1 + a_1)(1 + a_2) \dots (1 + a_n) \ge 2^n$, если $a_1, a_2, \dots, a_n$ — положительные числа, произведение которых равно единице.

1) Для доказательства воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши). Для любых положительных чисел $x$ и $y$ справедливо неравенство $x+y \ge 2\sqrt{xy}$.

Поскольку по условию $a > 0$ и $b > 0$, мы можем применить это неравенство к каждому из сомножителей в левой части доказываемого неравенства.

Для первого сомножителя: $a + b \ge 2\sqrt{ab}$.

Для второго сомножителя: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge 2\sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}} = 2\sqrt{\frac{1}{ab}} = \frac{2}{\sqrt{ab}}$.

Так как обе части полученных неравенств положительны, мы можем их перемножить, при этом знак неравенства сохранится:

$(a+b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \ge 2\sqrt{ab} \cdot \frac{2}{\sqrt{ab}} = 4$.

Неравенство доказано. Равенство достигается при $a=b$.

Ответ: $(a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \ge 4$.

2) Применим неравенство Коши ($x+y \ge 2\sqrt{xy}$) для каждой из скобок в левой части, так как по условию $a \ge 0$, $b \ge 0$ и $c \ge 0$.

$a+b \ge 2\sqrt{ab}$

$b+c \ge 2\sqrt{bc}$

$a+c \ge 2\sqrt{ac}$

Поскольку все части этих неравенств неотрицательны, мы можем их перемножить:

$(a+b)(b+c)(a+c) \ge 2\sqrt{ab} \cdot 2\sqrt{bc} \cdot 2\sqrt{ac}$

$(a+b)(b+c)(a+c) \ge 8\sqrt{ab \cdot bc \cdot ac} = 8\sqrt{a^2b^2c^2} = 8|abc|$.

Так как $a, b, c$ неотрицательны, $|abc|=abc$. Следовательно, $(a+b)(b+c)(a+c) \ge 8abc$.

Неравенство доказано. Равенство достигается при $a=b=c$.

Ответ: $(a + b)(b + c)(a + c) \ge 8abc$.

3) Для доказательства снова воспользуемся неравенством Коши для двух слагаемых. По условию $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Применим неравенство к слагаемым в каждой скобке:

$a^3 + b \ge 2\sqrt{a^3b}$

$a + b^3 \ge 2\sqrt{ab^3}$

Перемножим эти два неравенства (все части неотрицательны):

$(a^3 + b)(a + b^3) \ge 2\sqrt{a^3b} \cdot 2\sqrt{ab^3} = 4\sqrt{a^3b \cdot ab^3} = 4\sqrt{a^4b^4} = 4a^2b^2$.

Неравенство доказано. Равенство достигается при $a^3=b$ и $a=b^3$, что возможно при $a=b=0$ или $a=b=1$.

Ответ: $(a^3 + b)(a + b^3) \ge 4a^2b^2$.

4) Используем неравенство Коши. По условию $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Применим неравенство к каждому из множителей в левой части:

$ab + 1 \ge 2\sqrt{ab \cdot 1} = 2\sqrt{ab}$.

$a + b \ge 2\sqrt{ab}$.

Перемножим эти неравенства:

$(ab + 1)(a + b) \ge 2\sqrt{ab} \cdot 2\sqrt{ab} = 4ab$.

Неравенство доказано. Равенство достигается при $ab=1$ и $a=b$, то есть при $a=b=1$.

Ответ: $(ab + 1)(a + b) \ge 4ab$.

5) По условию $a \ge 0$, $b \ge 0$ и $c \ge 0$. Применим неравенство Коши к каждой из скобок:

$a + 2 \ge 2\sqrt{2a}$

$b + 5 \ge 2\sqrt{5b}$

$c + 10 \ge 2\sqrt{10c}$

Перемножая эти три неравенства, получаем:

$(a+2)(b+5)(c+10) \ge 2\sqrt{2a} \cdot 2\sqrt{5b} \cdot 2\sqrt{10c}$

$(a+2)(b+5)(c+10) \ge 8\sqrt{2a \cdot 5b \cdot 10c} = 8\sqrt{100abc} = 8 \cdot 10\sqrt{abc} = 80\sqrt{abc}$.

Неравенство доказано. Равенство достигается при $a=2, b=5, c=10$.

Ответ: $(a + 2)(b + 5)(c + 10) \ge 80\sqrt{abc}$.

6) Сгруппируем слагаемые в левой части следующим образом: $(a + \frac{1}{a}) + (b + \frac{1}{b})$.

Для любого положительного числа $x$ справедливо известное неравенство $x + \frac{1}{x} \ge 2$. Оно следует из неравенства Коши ($x + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2$).

Поскольку по условию $a > 0$ и $b > 0$, мы можем применить это свойство для $a$ и для $b$:

$a + \frac{1}{a} \ge 2$

$b + \frac{1}{b} \ge 2$

Сложив эти два неравенства, получаем:

$(a + \frac{1}{a}) + (b + \frac{1}{b}) \ge 2 + 2 = 4$.

Неравенство доказано. Равенство достигается при $a=1$ и $b=1$.

Ответ: $a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge 4$.

7) По условию $a_1, a_2, \ldots, a_n$ — положительные числа, и их произведение $a_1 a_2 \ldots a_n = 1$.

Применим неравенство Коши для каждой скобки $(1 + a_i)$ в левой части:

$1 + a_i \ge 2\sqrt{1 \cdot a_i} = 2\sqrt{a_i}$ для каждого $i = 1, 2, \ldots, n$.

Так как все $a_i$ положительны, то и все части этих $n$ неравенств положительны. Перемножим их:

$(1+a_1)(1+a_2)\ldots(1+a_n) \ge (2\sqrt{a_1})(2\sqrt{a_2})\ldots(2\sqrt{a_n})$

$(1+a_1)(1+a_2)\ldots(1+a_n) \ge 2^n \sqrt{a_1 a_2 \ldots a_n}$

Используя условие, что произведение $a_1 a_2 \ldots a_n = 1$, получаем:

$(1+a_1)(1+a_2)\ldots(1+a_n) \ge 2^n \sqrt{1} = 2^n$.

Неравенство доказано. Равенство достигается, когда $a_i=1$ для всех $i$.

Ответ: $(1 + a_1)(1 + a_2) \ldots (1 + a_n) \ge 2^n$.