Страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

104. Среди данных неравенств укажите неравенство, решением которого является любое действительное число, и неравенство, не имеющее решений:

1) $\frac{x^2+1}{x^2} \ge 0;$

2) $\frac{x^2+1}{x^2+1} < 1;$

3) $\frac{x^2-1}{x^2-1} \ge 1;$

4) $\frac{x^2}{x^2+1} \ge 0.$

Для того чтобы ответить на вопрос, проанализируем каждое из данных неравенств.

1) $ \frac{x^2 + 1}{x^2} \ge 0 $

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства определяется условием, что знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 \ne 0$, откуда следует, что $x \ne 0$. Для любого действительного числа $x$, выражение $x^2 \ge 0$, следовательно, числитель $x^2 + 1 \ge 1$, то есть он всегда строго положителен. Знаменатель $x^2$ также положителен для любого $x$ из ОДЗ. Отношение двух положительных чисел всегда положительно. Таким образом, неравенство выполняется для всех значений $x$ из области допустимых значений.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2) $ \frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} < 1 $

Знаменатель выражения $x^2 + 1$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, а значит $x^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, ОДЗ — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$). Поскольку числитель и знаменатель дроби равны и не обращаются в ноль, значение этой дроби всегда равно 1. Таким образом, исходное неравенство равносильно неверному числовому неравенству $1 < 1$. Это неравенство не выполняется ни при каком значении $x$.

Ответ: Неравенство не имеет решений ($\emptyset$).

3) $ \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1} \ge 1 $

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, то есть $x^2 - 1 \ne 0$, что равносильно $x^2 \ne 1$, или $x \ne 1$ и $x \ne -1$. На области допустимых значений числитель и знаменатель равны, поэтому выражение $\frac{x^2 - 1}{x^2 - 1}$ равно 1. Неравенство сводится к верному числовому неравенству $1 \ge 1$. Следовательно, неравенство верно для всех $x$ из ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$.

4) $ \frac{x^2}{x^2 + 1} \ge 0 $

Знаменатель $x^2 + 1$ всегда положителен, поэтому ОДЗ — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$). Числитель $x^2$ является неотрицательным для любого действительного $x$ ($x^2 \ge 0$). Знаменатель $x^2 + 1$ всегда строго положителен ($x^2 + 1 > 0$). Отношение неотрицательного числа к положительному числу всегда является неотрицательным. Таким образом, неравенство $\frac{x^2}{x^2 + 1} \ge 0$ выполняется для любого действительного числа $x$.

Ответ: Решением является любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

Итоговые выводы:

Неравенство, решением которого является любое действительное число: 4).

Неравенство, не имеющее решений: 2).

105. Решите неравенство:

1) $\frac{2}{x^2} + 2 > 0;$

2) $(x + 2)^2 > 0;$

3) $(x + 2)^2 \le 0;$

4) $\frac{x + 2}{x + 2} > 0;$

5) $\frac{x + 2}{x + 2} > \frac{2}{3};$

6) $\left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^2 > 0;$

7) $\left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^2 \ge 0;$

8) $x + \frac{1}{x^2} < \frac{1}{x^2} + 2;$

9) $|x| \ge -x^2;$

10) $|x| > -x^2;$

11) $|x| > x;$

12) $|x| \ge -x.$

1) Исходное неравенство: $ \frac{2}{x^2} + 2 > 0 $.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $ x^2 \neq 0 $, откуда $ x \neq 0 $.
Для любого $ x $ из ОДЗ, выражение $ x^2 $ всегда положительно ($ x^2 > 0 $).
Следовательно, дробь $ \frac{2}{x^2} $ также всегда положительна.
Сумма двух положительных чисел ($ \frac{2}{x^2} $ и $ 2 $) всегда положительна.
Таким образом, неравенство выполняется для всех значений $ x $, кроме $ x=0 $.
Ответ: $ x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty) $.

2) Исходное неравенство: $ (x + 2)^2 > 0 $.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $ (x + 2)^2 \ge 0 $.
Неравенство является строгим, поэтому нам нужно исключить случай, когда выражение равно нулю.
$ (x + 2)^2 = 0 $ при $ x + 2 = 0 $, то есть при $ x = -2 $.
Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $ x = -2 $.
Ответ: $ x \in (-\infty, -2) \cup (-2, \infty) $.

3) Исходное неравенство: $ (x + 2)^2 \le 0 $.
Как было отмечено ранее, $ (x + 2)^2 \ge 0 $ для любого действительного $ x $.
Выражение $ (x + 2)^2 $ никогда не может быть строго меньше нуля.
Единственная возможность, при которой неравенство выполняется, — это равенство нулю: $ (x + 2)^2 = 0 $.
Это происходит при $ x + 2 = 0 $, то есть при $ x = -2 $.
Ответ: $ x = -2 $.

4) Исходное неравенство: $ \frac{x+2}{x+2} > 0 $.
ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $ x + 2 \neq 0 $, откуда $ x \neq -2 $.
При всех $ x $ из ОДЗ, выражение $ \frac{x+2}{x+2} $ равно 1.
Неравенство принимает вид $ 1 > 0 $, что является верным утверждением.
Таким образом, неравенство выполняется для всех $ x $ из ОДЗ.
Ответ: $ x \in (-\infty, -2) \cup (-2, \infty) $.

5) Исходное неравенство: $ \frac{x+2}{x+2} > \frac{2}{3} $.
ОДЗ: $ x + 2 \neq 0 $, откуда $ x \neq -2 $.
При всех $ x $ из ОДЗ, выражение $ \frac{x+2}{x+2} $ равно 1.
Неравенство принимает вид $ 1 > \frac{2}{3} $, что является верным утверждением.
Таким образом, неравенство выполняется для всех $ x $ из ОДЗ.
Ответ: $ x \in (-\infty, -2) \cup (-2, \infty) $.

6) Исходное неравенство: $ \left(\frac{x+2}{x-2}\right)^2 > 0 $.
Квадрат выражения положителен тогда и только тогда, когда само выражение не равно нулю.
ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $ x - 2 \neq 0 $, откуда $ x \neq 2 $.
Условие $ \frac{x+2}{x-2} \neq 0 $ означает, что числитель не равен нулю: $ x + 2 \neq 0 $, откуда $ x \neq -2 $.
Объединяя условия, получаем, что неравенство выполняется для всех действительных $ x $, кроме $ x=2 $ и $ x=-2 $.
Ответ: $ x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty) $.

7) Исходное неравенство: $ \left(\frac{x+2}{x-2}\right)^2 \ge 0 $.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен.
Поэтому неравенство выполняется для всех значений $ x $, при которых выражение в скобках определено.
ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, $ x - 2 \neq 0 $, откуда $ x \neq 2 $.
Ответ: $ x \in (-\infty, 2) \cup (2, \infty) $.

8) Исходное неравенство: $ x + \frac{1}{x^2} < \frac{1}{x^2} + 2 $.
ОДЗ: $ x^2 \neq 0 $, откуда $ x \neq 0 $.
Вычтем из обеих частей неравенства слагаемое $ \frac{1}{x^2} $.
$ x < 2 $.
Учитывая ОДЗ, получаем решение.
Ответ: $ x \in (-\infty, 0) \cup (0, 2) $.

9) Исходное неравенство: $ |x| \ge -x^2 $.
Для любого действительного числа $ x $, модуль $ |x| $ является неотрицательным числом: $ |x| \ge 0 $.
Выражение $ x^2 $ также неотрицательно ($ x^2 \ge 0 $), следовательно, $ -x^2 $ является неположительным числом ($ -x^2 \le 0 $).
Неотрицательное число всегда больше или равно неположительному.
Равенство достигается только при $ x=0 $, когда обе части равны нулю ($ 0 \ge 0 $).
Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел.
Ответ: $ x \in (-\infty, \infty) $.

10) Исходное неравенство: $ |x| > -x^2 $.
Как и в предыдущем пункте, $ |x| \ge 0 $ и $ -x^2 \le 0 $.
Неравенство строгое. Оно не будет выполняться только в случае, когда обе части равны, то есть $ |x| = -x^2 $.
Это возможно только при $ x=0 $, когда $ |0| > -0^2 $, то есть $ 0 > 0 $, что неверно.
Для всех остальных $ x \neq 0 $, имеем $ |x| > 0 $ и $ -x^2 < 0 $. Положительное число всегда больше отрицательного, поэтому неравенство выполняется.
Ответ: $ x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty) $.

11) Исходное неравенство: $ |x| > x $.
Рассмотрим два случая:
1. Если $ x \ge 0 $, то $ |x| = x $. Неравенство принимает вид $ x > x $, что неверно ни для какого $ x $.
2. Если $ x < 0 $, то $ |x| = -x $. Неравенство принимает вид $ -x > x $. Перенеся $ x $ в левую часть, получаем $ -2x > 0 $, или $ x < 0 $. Это совпадает с нашим предположением для данного случая.
Следовательно, решением является множество всех отрицательных чисел.
Ответ: $ x \in (-\infty, 0) $.

12) Исходное неравенство: $ |x| \ge -x $.
Рассмотрим два случая:
1. Если $ x \ge 0 $, то $ |x| = x $. Неравенство принимает вид $ x \ge -x $, или $ 2x \ge 0 $, что означает $ x \ge 0 $. Решение в этом случае — все неотрицательные числа.
2. Если $ x < 0 $, то $ |x| = -x $. Неравенство принимает вид $ -x \ge -x $, что является верным для любого $ x $. Решение в этом случае — все отрицательные числа.
Объединяя решения из обоих случаев ($ x \ge 0 $ и $ x < 0 $), получаем, что неравенство верно для всех действительных чисел.
Ответ: $ x \in (-\infty, \infty) $.

106. Найдите множество решений неравенства:

1) $|x| > 0;$

2) $|x| \le 0;$

3) $|x| < 0;$

4) $|x| \le -1;$

5) $|x| > -3;$

6) $\left|\frac{1}{x}\right| > -3.$

1) Решим неравенство $|x| > 0$.

По определению, модуль (абсолютная величина) любого действительного числа $x$ является неотрицательным, то есть $|x| \ge 0$.

Неравенство $|x| > 0$ выполняется для всех значений $x$, для которых модуль не равен нулю.

Модуль равен нулю только в одном случае: $|x| = 0$, когда $x = 0$.

Следовательно, решением неравенства являются все действительные числа, кроме нуля.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2) Решим неравенство $|x| \le 0$.

Это неравенство можно разбить на два условия: $|x| < 0$ или $|x| = 0$.

Как мы знаем, модуль любого числа всегда неотрицателен ($|x| \ge 0$), поэтому неравенство $|x| < 0$ не имеет решений.

Остается только условие $|x| = 0$, которое выполняется только при $x = 0$.

Таким образом, единственным решением неравенства является $x = 0$.

Ответ: $x = 0$.

3) Решим неравенство $|x| < 0$.

Модуль любого действительного числа по определению является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$.

Неотрицательное число не может быть строго меньше нуля. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Множество решений является пустым.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

4) Решим неравенство $|x| \le -1$.

Модуль любого действительного числа $|x|$ всегда больше или равен нулю ($|x| \ge 0$).

Неотрицательное число не может быть меньше или равно отрицательному числу -1. Поэтому данное неравенство не имеет решений.

Множество решений является пустым.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

5) Решим неравенство $|x| > -3$.

Модуль любого действительного числа $|x|$ является неотрицательной величиной ($|x| \ge 0$).

Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа, в том числе и -3.

Таким образом, неравенство $|x| > -3$ справедливо для любого действительного числа $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

6) Решим неравенство $|\frac{1}{x}| > -3$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Так как $x$ находится в знаменателе дроби, $x$ не может быть равен нулю: $x \ne 0$.

Рассмотрим само неравенство. Выражение $|\frac{1}{x}|$ представляет собой модуль некоторого числа. Как и в предыдущем пункте, модуль любого числа всегда неотрицателен: $|\frac{1}{x}| \ge 0$.

Любое неотрицательное число всегда больше -3. Следовательно, неравенство выполняется для всех значений $x$ из области допустимых значений.

Объединяя это с ОДЗ, получаем, что решением являются все действительные числа, кроме нуля.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

107. Равносильны ли неравенства:

1) $\frac{1}{x} < 1$ и $x > 1$;

2) $x^2 \ge x$ и $x \ge 1$;

3) $(x+5)^2 < 0$ и $|x-4| < 0$;

4) $\sqrt{x} \le 0$ и $x^4 \le 0?

1) $\frac{1}{x} < 1$ и $x > 1$
Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Найдем множество решений для каждого неравенства.
Решим первое неравенство $\frac{1}{x} < 1$. Перенесем все члены в левую часть: $\frac{1}{x} - 1 < 0$. Приведем к общему знаменателю: $\frac{1 - x}{x} < 0$. Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=1$ и $x=0$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, \infty)$. Знак дроби $\frac{1-x}{x}$ отрицателен при $x \in (-\infty, 0)$ и при $x \in (1, \infty)$. Таким образом, множество решений первого неравенства есть объединение интервалов $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.
Множество решений второго неравенства $x > 1$ есть интервал $(1, \infty)$.
Множества решений $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ и $(1, \infty)$ не совпадают. Например, число $x = -2$ является решением первого неравенства, но не является решением второго. Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: не равносильны.

2) $x^2 \ge x$ и $x \ge 1$
Найдем множество решений для каждого неравенства.
Решим первое неравенство $x^2 \ge x$. Перенесем все в левую часть: $x^2 - x \ge 0$. Разложим на множители: $x(x - 1) \ge 0$. Корни соответствующего уравнения $x(x-1)=0$ равны $x=0$ и $x=1$. Графиком функции $y = x^2 - x$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $x(x - 1) \ge 0$ выполняется на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[1, \infty)$. Множество решений: $(-\infty, 0] \cup [1, \infty)$.
Множество решений второго неравенства $x \ge 1$ есть промежуток $[1, \infty)$.
Множества решений $(-\infty, 0] \cup [1, \infty)$ и $[1, \infty)$ не совпадают. Например, $x=0$ является решением первого неравенства, но не второго. Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: не равносильны.

3) $(x + 5)^2 < 0$ и $|x - 4| < 0$
Найдем множество решений для каждого неравенства.
Для первого неравенства $(x + 5)^2 < 0$. Выражение в левой части, будучи квадратом действительного числа, всегда неотрицательно, то есть $(x + 5)^2 \ge 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, неравенство $(x + 5)^2 < 0$ не имеет решений. Множество его решений – пустое множество ($\emptyset$).
Для второго неравенства $|x - 4| < 0$. Выражение в левой части, будучи модулем действительного числа, всегда неотрицательно, то есть $|x - 4| \ge 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, неравенство $|x - 4| < 0$ также не имеет решений. Множество его решений – пустое множество ($\emptyset$).
Так как множества решений обоих неравенств совпадают (оба являются пустыми множествами), данные неравенства равносильны.
Ответ: равносильны.

4) $\sqrt{x} \le 0$ и $x^4 \le 0$
Найдем множество решений для каждого неравенства.
Для первого неравенства $\sqrt{x} \le 0$. Область определения квадратного корня требует, чтобы $x \ge 0$. Сам квадратный корень из неотрицательного числа также является неотрицательным, то есть $\sqrt{x} \ge 0$. Из двух условий $\sqrt{x} \le 0$ и $\sqrt{x} \ge 0$ следует, что может быть только $\sqrt{x} = 0$, что возможно только при $x=0$. Таким образом, множество решений первого неравенства состоит из одного числа: $\{0\}$.
Для второго неравенства $x^4 \le 0$. Выражение в левой части, будучи четной степенью действительного числа, всегда неотрицательно, то есть $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$. Из двух условий $x^4 \le 0$ и $x^4 \ge 0$ следует, что может быть только $x^4 = 0$, что возможно только при $x=0$. Таким образом, множество решений второго неравенства также состоит из одного числа: $\{0\}$.
Так как множества решений обоих неравенств совпадают (оба равны $\{0\}$), данные неравенства равносильны.
Ответ: равносильны.

108. Решите уравнение:

1) $9 - 7(x + 3) = 5 - 6x;$

2) $\frac{x + 3}{2} - \frac{x - 4}{7} = 1;$

3) $(x + 7)^2 - (x - 2)^2 = 15;$

4) $5x - 2 = 3(3x - 1) - 4x - 4;$

5) $6x + (x - 2)(x + 2) = (x + 3)^2 - 13;$

6) $(x + 6)(x - 1) - (x + 3)(x - 4) = 5x.$

1) $9 - 7(x + 3) = 5 - 6x$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения, умножив -7 на каждый член в скобках:

$9 - 7 \cdot x - 7 \cdot 3 = 5 - 6x$

$9 - 7x - 21 = 5 - 6x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-12 - 7x = 5 - 6x$

Теперь перенесем слагаемые, содержащие $x$, в одну сторону, а свободные члены — в другую. Перенесем $-7x$ вправо, а $5$ влево, меняя их знаки:

$-12 - 5 = -6x + 7x$

Выполним вычисления:

$-17 = x$

Ответ: $-17$.

2) $\frac{x+3}{2} - \frac{x-4}{7} = 1$

Для того чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное чисел 2 и 7, которое равно 14:

$14 \cdot \left(\frac{x+3}{2} - \frac{x-4}{7}\right) = 14 \cdot 1$

$\frac{14(x+3)}{2} - \frac{14(x-4)}{7} = 14$

$7(x+3) - 2(x-4) = 14$

Раскроем скобки:

$7x + 21 - 2x + 8 = 14$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(7x - 2x) + (21 + 8) = 14$

$5x + 29 = 14$

Перенесем 29 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$5x = 14 - 29$

$5x = -15$

Разделим обе части на 5, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-15}{5}$

$x = -3$

Ответ: $-3$.

3) $(x + 7)^2 - (x - 2)^2 = 15$

Левая часть уравнения представляет собой разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x+7$ и $b = x-2$:

$((x+7) - (x-2))((x+7) + (x-2)) = 15$

Упростим выражения в каждой паре скобок:

$(x+7-x+2)(x+7+x-2) = 15$

$(9)(2x+5) = 15$

Раскроем скобки:

$18x + 45 = 15$

Перенесем 45 в правую часть:

$18x = 15 - 45$

$18x = -30$

Найдем $x$:

$x = \frac{-30}{18}$

Сократим дробь на 6:

$x = -\frac{5}{3}$

Ответ: $-\frac{5}{3}$.

4) $5x - 2 = 3(3x - 1) - 4x - 4$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$5x - 2 = 9x - 3 - 4x - 4$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$5x - 2 = (9x - 4x) + (-3 - 4)$

$5x - 2 = 5x - 7$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$5x - 5x = -7 + 2$

$0 \cdot x = -5$

Мы получили неверное равенство $0 = -5$. Это означает, что ни при каком значении $x$ равенство не будет верным.

Ответ: нет корней.

5) $6x + (x - 2)(x + 2) = (x + 3)^2 - 13$

Упростим обе части уравнения, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ для левой части и квадрат суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ для правой.

$6x + (x^2 - 2^2) = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 13$

$6x + x^2 - 4 = x^2 + 6x + 9 - 13$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$6x + x^2 - 4 = x^2 + 6x - 4$

Мы видим, что левая и правая части уравнения идентичны. Чтобы убедиться в этом, перенесем все члены из правой части в левую:

$6x + x^2 - 4 - x^2 - 6x + 4 = 0$

$(x^2 - x^2) + (6x - 6x) + (-4+4) = 0$

$0 = 0$

Полученное равенство верно при любом значении $x$. Следовательно, уравнение является тождеством.

Ответ: $x$ — любое число.

6) $(x + 6)(x - 1) - (x + 3)(x - 4) = 5x$

Раскроем скобки в левой части, выполнив умножение многочленов:

$(x^2 - x + 6x - 6) - (x^2 - 4x + 3x - 12) = 5x$

Приведем подобные слагаемые внутри каждой скобки:

$(x^2 + 5x - 6) - (x^2 - x - 12) = 5x$

Теперь раскроем вторые скобки, поменяв знак каждого члена внутри них на противоположный:

$x^2 + 5x - 6 - x^2 + x + 12 = 5x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(x^2 - x^2) + (5x + x) + (-6 + 12) = 5x$

$6x + 6 = 5x$

Перенесем $5x$ в левую часть, а $6$ — в правую:

$6x - 5x = -6$

$x = -6$

Ответ: $-6$.

109. Велосипедист проехал от села к озеру и вернулся обратно, потратив на весь путь 1 ч. Из села к озеру он ехал со скоростью $15 \text{ км/ч}$, а возвращался со скоростью $10 \text{ км/ч}$. Найдите расстояние от села до озера.

Пусть $S$ — искомое расстояние от села до озера в километрах.

Время движения ($t$) можно найти по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Скорость велосипедиста из села к озеру составляла $v_1 = 15$ км/ч. Время, затраченное на этот путь, равно $t_1 = \frac{S}{15}$ ч.

Скорость на обратном пути составляла $v_2 = 10$ км/ч. Время, затраченное на обратный путь, равно $t_2 = \frac{S}{10}$ ч.

По условию задачи, общее время, потраченное на весь путь, составляет 1 час. Это значит, что сумма времени движения к озеру и обратно равна 1:

$t_1 + t_2 = 1$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в уравнение:

$\frac{S}{15} + \frac{S}{10} = 1$

Для того чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 15 и 10 равен 30. Умножим обе части уравнения на 30:

$30 \cdot \left(\frac{S}{15} + \frac{S}{10}\right) = 1 \cdot 30$

$30 \cdot \frac{S}{15} + 30 \cdot \frac{S}{10} = 30$

$2S + 3S = 30$

Сложим слагаемые, содержащие $S$:

$5S = 30$

Теперь найдем $S$, разделив обе части уравнения на 5:

$S = \frac{30}{5}$

$S = 6$

Следовательно, расстояние от села до озера составляет 6 км.

Ответ: 6 км.