Номер 107, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

107. Равносильны ли неравенства:

1) $\frac{1}{x} < 1$ и $x > 1$;

2) $x^2 \ge x$ и $x \ge 1$;

3) $(x+5)^2 < 0$ и $|x-4| < 0$;

4) $\sqrt{x} \le 0$ и $x^4 \le 0?

1) $\frac{1}{x} < 1$ и $x > 1$
Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Найдем множество решений для каждого неравенства.
Решим первое неравенство $\frac{1}{x} < 1$. Перенесем все члены в левую часть: $\frac{1}{x} - 1 < 0$. Приведем к общему знаменателю: $\frac{1 - x}{x} < 0$. Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=1$ и $x=0$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, \infty)$. Знак дроби $\frac{1-x}{x}$ отрицателен при $x \in (-\infty, 0)$ и при $x \in (1, \infty)$. Таким образом, множество решений первого неравенства есть объединение интервалов $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.
Множество решений второго неравенства $x > 1$ есть интервал $(1, \infty)$.
Множества решений $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ и $(1, \infty)$ не совпадают. Например, число $x = -2$ является решением первого неравенства, но не является решением второго. Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: не равносильны.

2) $x^2 \ge x$ и $x \ge 1$
Найдем множество решений для каждого неравенства.
Решим первое неравенство $x^2 \ge x$. Перенесем все в левую часть: $x^2 - x \ge 0$. Разложим на множители: $x(x - 1) \ge 0$. Корни соответствующего уравнения $x(x-1)=0$ равны $x=0$ и $x=1$. Графиком функции $y = x^2 - x$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $x(x - 1) \ge 0$ выполняется на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[1, \infty)$. Множество решений: $(-\infty, 0] \cup [1, \infty)$.
Множество решений второго неравенства $x \ge 1$ есть промежуток $[1, \infty)$.
Множества решений $(-\infty, 0] \cup [1, \infty)$ и $[1, \infty)$ не совпадают. Например, $x=0$ является решением первого неравенства, но не второго. Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: не равносильны.

3) $(x + 5)^2 < 0$ и $|x - 4| < 0$
Найдем множество решений для каждого неравенства.
Для первого неравенства $(x + 5)^2 < 0$. Выражение в левой части, будучи квадратом действительного числа, всегда неотрицательно, то есть $(x + 5)^2 \ge 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, неравенство $(x + 5)^2 < 0$ не имеет решений. Множество его решений – пустое множество ($\emptyset$).
Для второго неравенства $|x - 4| < 0$. Выражение в левой части, будучи модулем действительного числа, всегда неотрицательно, то есть $|x - 4| \ge 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, неравенство $|x - 4| < 0$ также не имеет решений. Множество его решений – пустое множество ($\emptyset$).
Так как множества решений обоих неравенств совпадают (оба являются пустыми множествами), данные неравенства равносильны.
Ответ: равносильны.

4) $\sqrt{x} \le 0$ и $x^4 \le 0$
Найдем множество решений для каждого неравенства.
Для первого неравенства $\sqrt{x} \le 0$. Область определения квадратного корня требует, чтобы $x \ge 0$. Сам квадратный корень из неотрицательного числа также является неотрицательным, то есть $\sqrt{x} \ge 0$. Из двух условий $\sqrt{x} \le 0$ и $\sqrt{x} \ge 0$ следует, что может быть только $\sqrt{x} = 0$, что возможно только при $x=0$. Таким образом, множество решений первого неравенства состоит из одного числа: $\{0\}$.
Для второго неравенства $x^4 \le 0$. Выражение в левой части, будучи четной степенью действительного числа, всегда неотрицательно, то есть $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$. Из двух условий $x^4 \le 0$ и $x^4 \ge 0$ следует, что может быть только $x^4 = 0$, что возможно только при $x=0$. Таким образом, множество решений второго неравенства также состоит из одного числа: $\{0\}$.
Так как множества решений обоих неравенств совпадают (оба равны $\{0\}$), данные неравенства равносильны.
Ответ: равносильны.