Номер 108, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

108. Решите уравнение:

1) $9 - 7(x + 3) = 5 - 6x;$

2) $\frac{x + 3}{2} - \frac{x - 4}{7} = 1;$

3) $(x + 7)^2 - (x - 2)^2 = 15;$

4) $5x - 2 = 3(3x - 1) - 4x - 4;$

5) $6x + (x - 2)(x + 2) = (x + 3)^2 - 13;$

6) $(x + 6)(x - 1) - (x + 3)(x - 4) = 5x.$

1) $9 - 7(x + 3) = 5 - 6x$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения, умножив -7 на каждый член в скобках:

$9 - 7 \cdot x - 7 \cdot 3 = 5 - 6x$

$9 - 7x - 21 = 5 - 6x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-12 - 7x = 5 - 6x$

Теперь перенесем слагаемые, содержащие $x$, в одну сторону, а свободные члены — в другую. Перенесем $-7x$ вправо, а $5$ влево, меняя их знаки:

$-12 - 5 = -6x + 7x$

Выполним вычисления:

$-17 = x$

Ответ: $-17$.

2) $\frac{x+3}{2} - \frac{x-4}{7} = 1$

Для того чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное чисел 2 и 7, которое равно 14:

$14 \cdot \left(\frac{x+3}{2} - \frac{x-4}{7}\right) = 14 \cdot 1$

$\frac{14(x+3)}{2} - \frac{14(x-4)}{7} = 14$

$7(x+3) - 2(x-4) = 14$

Раскроем скобки:

$7x + 21 - 2x + 8 = 14$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(7x - 2x) + (21 + 8) = 14$

$5x + 29 = 14$

Перенесем 29 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$5x = 14 - 29$

$5x = -15$

Разделим обе части на 5, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-15}{5}$

$x = -3$

Ответ: $-3$.

3) $(x + 7)^2 - (x - 2)^2 = 15$

Левая часть уравнения представляет собой разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x+7$ и $b = x-2$:

$((x+7) - (x-2))((x+7) + (x-2)) = 15$

Упростим выражения в каждой паре скобок:

$(x+7-x+2)(x+7+x-2) = 15$

$(9)(2x+5) = 15$

Раскроем скобки:

$18x + 45 = 15$

Перенесем 45 в правую часть:

$18x = 15 - 45$

$18x = -30$

Найдем $x$:

$x = \frac{-30}{18}$

Сократим дробь на 6:

$x = -\frac{5}{3}$

Ответ: $-\frac{5}{3}$.

4) $5x - 2 = 3(3x - 1) - 4x - 4$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$5x - 2 = 9x - 3 - 4x - 4$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$5x - 2 = (9x - 4x) + (-3 - 4)$

$5x - 2 = 5x - 7$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$5x - 5x = -7 + 2$

$0 \cdot x = -5$

Мы получили неверное равенство $0 = -5$. Это означает, что ни при каком значении $x$ равенство не будет верным.

Ответ: нет корней.

5) $6x + (x - 2)(x + 2) = (x + 3)^2 - 13$

Упростим обе части уравнения, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ для левой части и квадрат суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ для правой.

$6x + (x^2 - 2^2) = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 13$

$6x + x^2 - 4 = x^2 + 6x + 9 - 13$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$6x + x^2 - 4 = x^2 + 6x - 4$

Мы видим, что левая и правая части уравнения идентичны. Чтобы убедиться в этом, перенесем все члены из правой части в левую:

$6x + x^2 - 4 - x^2 - 6x + 4 = 0$

$(x^2 - x^2) + (6x - 6x) + (-4+4) = 0$

$0 = 0$

Полученное равенство верно при любом значении $x$. Следовательно, уравнение является тождеством.

Ответ: $x$ — любое число.

6) $(x + 6)(x - 1) - (x + 3)(x - 4) = 5x$

Раскроем скобки в левой части, выполнив умножение многочленов:

$(x^2 - x + 6x - 6) - (x^2 - 4x + 3x - 12) = 5x$

Приведем подобные слагаемые внутри каждой скобки:

$(x^2 + 5x - 6) - (x^2 - x - 12) = 5x$

Теперь раскроем вторые скобки, поменяв знак каждого члена внутри них на противоположный:

$x^2 + 5x - 6 - x^2 + x + 12 = 5x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(x^2 - x^2) + (5x + x) + (-6 + 12) = 5x$

$6x + 6 = 5x$

Перенесем $5x$ в левую часть, а $6$ — в правую:

$6x - 5x = -6$

$x = -6$

Ответ: $-6$.