Страница 34 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сформулируйте правила, с помощью которых можно получить неравенство, равносильное данному.

Два неравенства называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. То есть, каждое решение первого неравенства является решением второго, и наоборот. Преобразование, которое переводит неравенство в равносильное ему, называется равносильным преобразованием. Чтобы получить неравенство, равносильное данному, можно выполнять следующие преобразования:

1. Тождественные преобразования выражений в частях неравенства
Если в левой или правой части неравенства выполнить тождественное преобразование (например, раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, применить формулы сокращенного умножения), не изменяющее область допустимых значений (ОДЗ) переменной, то получится неравенство, равносильное исходному.
Пример: Неравенство $(x+2)^2 > 3x + 10$ равносильно неравенству $x^2 + 4x + 4 > 3x + 10$, так как выражение $(x+2)^2$ тождественно равно $x^2 + 4x + 4$.

2. Перенос слагаемых из одной части неравенства в другую
Любой член неравенства можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный. При этом знак самого неравенства сохраняется. Это правило является следствием возможности прибавлять или вычитать одно и то же выражение из обеих частей неравенства.
Пример: Неравенство $5x - 7 > 3x + 1$ равносильно неравенству $5x - 3x > 1 + 7$.

3. Умножение или деление обеих частей на положительное число или выражение
Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число ($c > 0$) или на выражение $h(x)$, которое принимает только положительные значения ($h(x) > 0$) на всей ОДЗ неравенства. Знак неравенства при этом не меняется.
Пример: Неравенство $2x < 8$ равносильно неравенству $x < 4$ (деление на 2). Неравенство $\frac{x-1}{x^2+1} < 1$ равносильно неравенству $x-1 < x^2+1$, так как $x^2+1$ всегда больше нуля.

4. Умножение или деление обеих частей на отрицательное число или выражение
Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число ($c < 0$) или на выражение $h(x)$, которое принимает только отрицательные значения ($h(x) < 0$) на всей ОДЗ. При этом знак неравенства необходимо изменить на противоположный ($>$ на <, < на $>$, $\geq$ на $\leq$, $\leq$ на $\geq$).
Пример: Неравенство $-3x \geq 12$ равносильно неравенству $x \leq -4$ (деление на -3 со сменой знака с $\geq$ на $\leq$).

5. Применение монотонной функции к обеим частям неравенства
К обеим частям неравенства можно применить одну и ту же строго монотонную функцию, при условии, что обе части входят в ее область определения.
- Если функция строго возрастающая (например, возведение в нечетную степень, логарифмирование по основанию больше 1), то знак неравенства сохраняется.
Пример: Если обе части неравенства $f(x) > g(x)$ неотрицательны, то оно равносильно $f^2(x) > g^2(x)$, так как функция $y=x^2$ на $[0, +\infty)$ возрастает.
- Если функция строго убывающая (например, логарифмирование по основанию от 0 до 1), то знак неравенства меняется на противоположный.
Пример: Если обе части неравенства $f(x) > g(x)$ положительны, то оно равносильно $\frac{1}{f(x)} < \frac{1}{g(x)}$, так как функция $y = 1/x$ на $(0, +\infty)$ убывает.

Ответ:

Чтобы получить неравенство, равносильное данному, можно использовать следующие правила:

1. Выполнение тождественных преобразований (упрощение выражений) в любой из частей неравенства, не меняющих его область допустимых значений.

2. Перенос любого члена из одной части неравенства в другую с изменением его знака на противоположный.

3. Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число (или выражение, строго положительное на ОДЗ), сохраняя при этом знак неравенства.

4. Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число (или выражение, строго отрицательное на ОДЗ), изменяя при этом знак неравенства на противоположный.

5. Применение к обеим частям неравенства строго возрастающей функции с сохранением знака неравенства или строго убывающей функции с изменением знака на противоположный (при условии, что обе части принадлежат области определения функции).

2. Какие неравенства называют линейными неравенствами с одной переменной?

Линейным неравенством с одной переменной называют неравенство, которое можно свести к одному из следующих видов: $ax > b$, $ax < b$, $ax \ge b$ или $ax \le b$ с помощью тождественных преобразований.

В этих неравенствах:

• $x$ — это переменная, значение которой нужно найти.
• $a$ и $b$ — некоторые действительные числа (коэффициенты).

Ключевое условие, которое делает неравенство линейным, — это то, что коэффициент $a$ при переменной $x$ не должен быть равен нулю ($a \ne 0$). Если $a=0$, то переменная $x$ исчезает из неравенства, и оно становится либо верным ($0 > -5$), либо неверным ($0 > 5$) числовым неравенством, но уже не является линейным относительно $x$.

Название "линейное" происходит от связи с линейной функцией $y = ax + b$, график которой — прямая линия. Решение неравенства, например, $ax + b > 0$, геометрически означает поиск тех значений $x$, для которых соответствующая точка на прямой лежит выше оси абсцисс.

Многие неравенства, которые на первый взгляд не выглядят как линейные, могут быть сведены к стандартному виду.

Пример:
Рассмотрим неравенство $7(x - 2) \ge 3x + 6$.
1. Раскроем скобки: $7x - 14 \ge 3x + 6$.
2. Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки: $7x - 3x \ge 6 + 14$.
3. Приведем подобные слагаемые в обеих частях: $4x \ge 20$.
В результате мы получили неравенство вида $ax \ge b$, где $a = 4$ и $b = 20$. Это доказывает, что исходное неравенство является линейным.

Ответ: Линейным неравенством с одной переменной называют неравенство, которое можно представить в виде $ax > b$ (или с знаками $<, \ge, \le$), где $x$ — переменная, $a$ и $b$ — некоторые числа, причем коэффициент $a$ не равен нулю ($a \ne 0$).

3. Как записывают, читают, называют и изображают промежуток, явля-ющий множеством решений неравенства вида: $x > a$; $x < a$; $x \geq a$; $x \leq a$?

Множество решений неравенств указанных видов представляет собой числовые промежутки, называемые лучами. Рассмотрим каждый случай отдельно.

$x > a$

Такое неравенство означает, что $x$ может быть любым числом, которое строго больше числа $a$.
Записывают: этот промежуток записывают в виде $(a; +\infty)$. Используются круглые скобки, так как число $a$ не входит в множество решений (строгое неравенство), а знак бесконечности всегда пишется с круглой скобкой.
Читают: «промежуток от $a$ до плюс бесконечности».
Называют: открытый числовой луч.
Изображают: на числовой прямой отмечают точку $a$. Поскольку неравенство строгое, точка изображается «выколотой» (в виде пустого кружка). Затем штриховкой выделяют часть прямой, расположенную справа от точки $a$.
Ответ: Запись: $(a; +\infty)$; название: открытый числовой луч; на числовой прямой отмечается выколотая точка $a$ и штрихуется область справа от нее.

$x < a$

Такое неравенство означает, что $x$ может быть любым числом, которое строго меньше числа $a$.
Записывают: этот промежуток записывают в виде $(-\infty; a)$. Круглая скобка у $a$ означает, что само число $a$ не является решением.
Читают: «промежуток от минус бесконечности до $a$».
Называют: открытый числовой луч.
Изображают: на числовой прямой отмечают выколотую точку $a$. Штриховкой выделяют часть прямой, расположенную слева от точки $a$.
Ответ: Запись: $(-\infty; a)$; название: открытый числовой луч; на числовой прямой отмечается выколотая точка $a$ и штрихуется область слева от нее.

$x \ge a$

Такое неравенство означает, что $x$ может быть любым числом, которое больше или равно числу $a$.
Записывают: этот промежуток записывают в виде $[a; +\infty)$. Используется квадратная скобка, так как число $a$ входит в множество решений (нестрогое неравенство).
Читают: «промежуток от $a$ до плюс бесконечности, включая $a$».
Называют: числовой луч (или замкнутый числовой луч).
Изображают: на числовой прямой отмечают точку $a$. Поскольку неравенство нестрогое, точка изображается «закрашенной» (в виде сплошного кружка). Затем штриховкой выделяют часть прямой, расположенную справа от точки $a$, включая саму точку.
Ответ: Запись: $[a; +\infty)$; название: числовой луч; на числовой прямой отмечается закрашенная точка $a$ и штрихуется область справа от нее.

$x \le a$

Такое неравенство означает, что $x$ может быть любым числом, которое меньше или равно числу $a$.
Записывают: этот промежуток записывают в виде $(-\infty; a]$. Квадратная скобка у $a$ означает, что само число $a$ является решением.
Читают: «промежуток от минус бесконечности до $a$, включая $a$».
Называют: числовой луч (или замкнутый числовой луч).
Изображают: на числовой прямой отмечают закрашенную точку $a$. Штриховкой выделяют часть прямой, расположенную слева от точки $a$, включая саму точку.
Ответ: Запись: $(-\infty; a]$; название: числовой луч; на числовой прямой отмечается закрашенная точка $a$ и штрихуется область слева от нее.

4. Решением неравенства является любое число. Как в таком случае записывают, читают и называют промежуток, являющийся множеством решений неравенства?

Когда решением неравенства является любое число, это означает, что любое действительное (или вещественное) число удовлетворяет этому неравенству. Множество решений в этом случае представляет собой всю числовую ось.

Как записывают

Промежуток, включающий все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности, записывается с помощью круглых скобок, так как бесконечность не является конкретным числом и не может быть включена в промежуток. Такая запись выглядит следующим образом: $(-\infty; +\infty)$. Также для обозначения множества всех действительных чисел используется специальный символ $\mathbb{R}$.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$ или $\mathbb{R}$.

Как читают

Запись $(-\infty; +\infty)$ читается так: «промежуток от минус бесконечности до плюс бесконечности».
Ответ: «Промежуток от минус бесконечности до плюс бесконечности».

Как называют

Такой промежуток называют числовой прямой или множеством всех действительных чисел.
Ответ: Числовая прямая или множество всех действительных чисел.

110. Изобразите на координатной прямой промежуток:

1) $[-5; +\infty)$;

2) $(-5; +\infty)$;

3) $(-\infty; -5)$;

4) $(-\infty; -5]$.

Чтобы изобразить числовой промежуток на координатной прямой, нужно понять, что означают скобки и знаки бесконечности.

• Квадратные скобки [ ] означают, что крайняя точка включается в промежуток. На прямой такая точка обозначается закрашенным (сплошным) кружком. Это соответствует нестрогим неравенствам $x \geq a$ или $x \leq a$.
• Круглые скобки ( ) означают, что крайняя точка не включается в промежуток. На прямой такая точка обозначается незакрашенным (выколотым) кружком. Это соответствует строгим неравенствам $x > a$ или $x < a$.
• Знаки $ +\infty $ (плюс бесконечность) и $ -\infty $ (минус бесконечность) всегда пишутся с круглой скобкой. $ +\infty $ означает, что промежуток уходит вправо до бесконечности, а $ -\infty $ — влево.

1) $[-5; +\infty)$

Этот промежуток включает все числа, которые больше или равны -5. В виде неравенства это записывается как $x \geq -5$.
На координатной прямой нужно отметить точку -5 закрашенным кружком (так как скобка квадратная) и заштриховать всю область справа от этой точки.

Ответ:

2) $(-5; +\infty)$

Этот промежуток включает все числа, которые строго больше -5. В виде неравенства это записывается как $x > -5$.
На координатной прямой нужно отметить точку -5 выколотым кружком (так как скобка круглая) и заштриховать всю область справа от этой точки.

Ответ:

3) $(-\infty; -5)$

Этот промежуток включает все числа, которые строго меньше -5. В виде неравенства это записывается как $x < -5$.
На координатной прямой нужно отметить точку -5 выколотым кружком (так как скобка круглая) и заштриховать всю область слева от этой точки.

Ответ:

4) $(-\infty; -5]$

Этот промежуток включает все числа, которые меньше или равны -5. В виде неравенства это записывается как $x \leq -5$.
На координатной прямой нужно отметить точку -5 закрашенным кружком (так как скобка квадратная) и заштриховать всю область слева от этой точки.

Ответ:

111. Изобразите на координатной прямой и запишите промежуток, который задаётся неравенством:

1) $x < 8$;2) $x \leq -4$;3) $x \geq -1$;4) $x > 0$.

1) Неравенство $x < 8$ является строгим. Это означает, что $x$ может быть любым числом, которое строго меньше 8. Число 8 не входит в решение.
На координатной прямой это изображается следующим образом: на точке 8 ставится выколотая (пустая) точка, и заштриховывается область слева от этой точки, так как нас интересуют все значения $x$, которые меньше 8.


В виде промежутка это записывается с использованием круглых скобок. Поскольку 8 не включается в промежуток, скобка возле 8 будет круглой. Промежуток простирается до минус бесконечности, которая также всегда обозначается круглой скобкой.
Ответ: $(-\infty; 8)$

2) Неравенство $x \le -4$ является нестрогим. Это означает, что $x$ может быть любым числом, которое меньше или равно -4. Число -4 входит в решение.
На координатной прямой это изображается так: на точке -4 ставится закрашенная (сплошная) точка, и заштриховывается область слева от этой точки.


В виде промежутка это записывается с использованием квадратной скобки для числа, которое включается в интервал. Так как -4 является частью решения, скобка будет квадратной. Промежуток уходит в минус бесконечность.
Ответ: $(-\infty; -4]$

3) Неравенство $x \ge -1$ является нестрогим. Это означает, что $x$ может быть любым числом, которое больше или равно -1. Число -1 входит в решение.
На координатной прямой на точке -1 ставится закрашенная точка, и заштриховывается область справа от этой точки, так как нас интересуют все значения $x$, которые больше -1.


В виде промежутка это записывается с использованием квадратной скобки для -1, так как это значение включается в решение. Промежуток простирается до плюс бесконечности, которая всегда обозначается круглой скобкой.
Ответ: $[-1; +\infty)$

4) Неравенство $x > 0$ является строгим. Это означает, что $x$ может быть любым числом, которое строго больше 0. Число 0 не входит в решение.
На координатной прямой на точке 0 ставится выколотая точка, и заштриховывается область справа от этой точки.


В виде промежутка это записывается с использованием круглых скобок, так как и 0 (из-за строгого неравенства), и плюс бесконечность не включаются в качестве конкретных точек.
Ответ: $(0; +\infty)$

112. Изобразите на координатной прямой и запишите промежуток, который задаётся неравенством:

1) $x \le 0;$

2) $x \ge \frac{1}{3};$

3) $x > -1,4;$

4) $x < 16.$

1) $x \le 0$

Неравенство $x \le 0$ означает, что переменная $x$ может принимать значение 0 или любое значение меньше нуля. Чтобы изобразить этот промежуток на координатной прямой, нужно отметить точку 0 и заштриховать всю область слева от нее. Поскольку неравенство нестрогое (содержит знак "равно"), точка 0 включается в промежуток и на прямой обозначается закрашенным кружком.

В виде промежутка это записывается с использованием квадратной скобки для включенной границы (0) и круглой скобки для бесконечности.

Ответ: $(-\infty; 0]$

2) $x \ge \frac{1}{3}$

Неравенство $x \ge \frac{1}{3}$ означает, что переменная $x$ может принимать значение $\frac{1}{3}$ или любое значение больше этого числа. На координатной прямой отмечаем точку $\frac{1}{3}$ закрашенным кружком, так как неравенство нестрогое, и штрихуем область справа от этой точки.

Промежуток начинается с $\frac{1}{3}$ (включая) и уходит в плюс бесконечность.

Ответ: $[\frac{1}{3}; +\infty)$

3) $x > -1,4$

Неравенство $x > -1,4$ означает, что переменная $x$ принимает все значения, которые строго больше -1,4. На координатной прямой точка -1,4 не включается в промежуток, поэтому она обозначается пустым (выколотым) кружком. Заштрихованная область находится справа от этой точки.

Поскольку граница -1,4 не включена, в записи промежутка используется круглая скобка.

Ответ: $(-1,4; +\infty)$

4) $x < 16$

Неравенство $x < 16$ означает, что переменная $x$ принимает все значения, которые строго меньше 16. На координатной прямой точка 16 будет выколотой (пустой кружок), так как неравенство строгое. Штриховка наносится слева от точки 16.

Промежуток простирается от минус бесконечности до 16, не включая 16, поэтому обе скобки круглые.

Ответ: $(-\infty; 16)$

113. Укажите наименьшее целое число, принадлежащее промежутку:

1) $(6; +\infty)$

2) $[6; +\infty)$

3) $(-3,4; +\infty)$

4) $[-0,9; +\infty)$

1) Промежуток $(6; +\infty)$ представляет собой множество всех действительных чисел, которые строго больше 6. Это условие можно записать в виде неравенства $x > 6$. Мы ищем наименьшее целое число, которое удовлетворяет этому неравенству. Перечислим целые числа, которые больше 6: 7, 8, 9, и так далее. Наименьшим из них является 7.
Ответ: 7

2) Промежуток $[6; +\infty)$ представляет собой множество всех действительных чисел, которые больше или равны 6. Квадратная скобка означает, что число 6 включается в промежуток. Это условие можно записать в виде неравенства $x \ge 6$. Мы ищем наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству. Так как 6 является целым числом и входит в промежуток, оно и будет наименьшим целым числом.
Ответ: 6

3) Промежуток $(-3,4; +\infty)$ представляет собой множество всех действительных чисел, которые строго больше $-3,4$. Это условие можно записать в виде неравенства $x > -3,4$. Мы ищем наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству. На числовой прямой справа от $-3,4$ располагаются целые числа $-3, -2, -1, 0$ и так далее. Наименьшим из этих целых чисел является $-3$.
Ответ: -3

4) Промежуток $[-0,9; +\infty)$ представляет собой множество всех действительных чисел, которые больше или равны $-0,9$. Квадратная скобка означает, что число $-0,9$ включается в промежуток. Это условие можно записать в виде неравенства $x \ge -0,9$. Мы ищем наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству. На числовой прямой справа от $-0,9$ (включая числа, большие $-0,9$) располагаются целые числа $0, 1, 2$ и так далее. Наименьшим из этих целых чисел является 0.
Ответ: 0