Номер 95, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

95. Какое из данных чисел является решением неравенства $(x - 2)^2(x - 5) > 0:$

1) 3;

2) 2;

3) 6;

4) -1?

Чтобы определить, какое из предложенных чисел является решением неравенства $(x - 2)^2(x - 5) > 0$, можно поочередно подставить каждое из этих чисел вместо $x$ и проверить, выполняется ли неравенство.

Подставим $x = 3$ в левую часть неравенства:

$(3 - 2)^2(3 - 5) = 1^2 \cdot (-2) = 1 \cdot (-2) = -2$.

Неравенство $-2 > 0$ является ложным. Следовательно, число 3 не является решением.

Подставим $x = 2$ в левую часть неравенства:

$(2 - 2)^2(2 - 5) = 0^2 \cdot (-3) = 0 \cdot (-3) = 0$.

Неравенство $0 > 0$ является ложным (неравенство строгое). Следовательно, число 2 не является решением.

Подставим $x = 6$ в левую часть неравенства:

$(6 - 2)^2(6 - 5) = 4^2 \cdot 1 = 16 \cdot 1 = 16$.

Неравенство $16 > 0$ является истинным. Следовательно, число 6 является решением.

Подставим $x = -1$ в левую часть неравенства:

$(-1 - 2)^2(-1 - 5) = (-3)^2 \cdot (-6) = 9 \cdot (-6) = -54$.

Неравенство $-54 > 0$ является ложным. Следовательно, число -1 не является решением.

Таким образом, из предложенных вариантов только число 6 является решением неравенства.

Альтернативный способ (решение неравенства методом интервалов):

Рассмотрим функцию $f(x) = (x - 2)^2(x - 5)$. Нам нужно найти все значения $x$, при которых $f(x) > 0$.

1. Найдём нули функции, решив уравнение $(x - 2)^2(x - 5) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$(x-2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2$
$x-5 = 0 \Rightarrow x = 5$
Нули функции: $x=2$ и $x=5$.

2. Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty; 2)$, $(2; 5)$ и $(5; +\infty)$.

3. Определим знак выражения на каждом интервале.

• На интервале $(5; +\infty)$ возьмём пробную точку $x=10$: $(10-2)^2(10-5) = 8^2 \cdot 5 = 320$. Результат положительный ($+$).
• На интервале $(2; 5)$ возьмём пробную точку $x=3$: $(3-2)^2(3-5) = 1^2 \cdot (-2) = -2$. Результат отрицательный ($-$).
• На интервале $(-\infty; 2)$ возьмём пробную точку $x=0$: $(0-2)^2(0-5) = (-2)^2 \cdot (-5) = -20$. Результат отрицательный ($-$).

Заметим, что при переходе через корень $x=2$ знак функции не меняется, так как скобка $(x-2)$ возведена в чётную степень (2).

4. Нам нужно найти, где $(x - 2)^2(x - 5) > 0$. Это соответствует интервалам со знаком «$+$». Таким интервалом является $(5; +\infty)$.

5. Из предложенных чисел $3, 2, 6, -1$ только число 6 принадлежит этому интервалу.

Ответ: 6