Номер 90, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

90. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\frac{x^2}{x+4};$

2) $\frac{x-4}{x^2-4};$

3) $\frac{x^2-4}{x^2+4};$

4) $\frac{4}{x-4} + \frac{1}{x}?$

Алгебраическое выражение, представляющее собой дробь, имеет смысл тогда, когда его знаменатель не равен нулю, так как операция деления на ноль не определена.

1) $\frac{x^2}{x+4}$

Данное выражение имеет смысл, если знаменатель дроби не равен нулю.

Найдем значение переменной, при котором знаменатель обращается в ноль:

$x + 4 = 0$

$x = -4$

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = -4$.

Ответ: $x \neq -4$.

2) $\frac{x-4}{x^2-4}$

Данное выражение имеет смысл, если знаменатель $x^2-4$ не равен нулю.

Найдем значения переменной, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x^2 - 4 = 0$

Используем формулу разности квадратов $(a^2 - b^2) = (a-b)(a+b)$:

$(x - 2)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x - 2 = 0$ или $x + 2 = 0$

$x = 2$ или $x = -2$

Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = 2$ и $x = -2$.

Ответ: $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

3) $\frac{x^2-4}{x^2+4}$

Данное выражение имеет смысл, если знаменатель $x^2+4$ не равен нулю.

Рассмотрим уравнение $x^2 + 4 = 0$:

$x^2 = -4$

Квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Поэтому сумма $x^2+4$ всегда будет больше или равна 4 ($x^2+4 \ge 4$) и никогда не может быть равна нулю.

Таким образом, выражение имеет смысл при любом значении переменной $x$.

Ответ: $x$ - любое число.

4) $\frac{4}{x-4} + \frac{1}{x}$

Это выражение является суммой двух дробей. Оно имеет смысл, когда знаменатель каждой из дробей не равен нулю.

Для первой дроби $\frac{4}{x-4}$ знаменатель не должен быть равен нулю:

$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$

Для второй дроби $\frac{1}{x}$ знаменатель не должен быть равен нулю:

$x \neq 0$

Оба условия должны выполняться одновременно. Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = 4$ и $x = 0$.

Ответ: $x \neq 4$ и $x \neq 0$.