Страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

30. Известно, что $a > 0$, $b > 0$, $c < 0$, $d < 0$. Сравните с нулём значение вы-ражения:

1) $bc$;

2) $cd$;

3) $\frac{a}{b}$;

4) $\frac{ab}{c}$;

5) $\frac{ac}{d}$;

6) $\frac{a}{bc}$;

7) $abcd$;

8) $\frac{b}{acd}$.

1) bc;
Дано, что $b > 0$ (положительное число) и $c < 0$ (отрицательное число). Произведение положительного и отрицательного числа всегда является отрицательным числом. Следовательно, выражение $bc$ будет меньше нуля.
Ответ: $bc < 0$.

2) cd;
Дано, что $c < 0$ (отрицательное число) и $d < 0$ (отрицательное число). Произведение двух отрицательных чисел всегда является положительным числом. Следовательно, выражение $cd$ будет больше нуля.
Ответ: $cd > 0$.

3) $\frac{a}{b}$;
Дано, что $a > 0$ (положительное число) и $b > 0$ (положительное число). Частное от деления положительного числа на положительное всегда является положительным числом. Следовательно, выражение $\frac{a}{b}$ будет больше нуля.
Ответ: $\frac{a}{b} > 0$.

4) $\frac{ab}{c}$;
Сначала определим знак числителя $ab$. Так как $a > 0$ и $b > 0$, их произведение $ab > 0$ (положительное). Знаменатель $c < 0$ (отрицательный). Частное от деления положительного числа на отрицательное всегда является отрицательным числом. Следовательно, выражение $\frac{ab}{c}$ будет меньше нуля.
Ответ: $\frac{ab}{c} < 0$.

5) $\frac{ac}{d}$;
Определим знак числителя $ac$. Так как $a > 0$ и $c < 0$, их произведение $ac < 0$ (отрицательное). Знаменатель $d < 0$ (отрицательный). Частное от деления отрицательного числа на отрицательное всегда является положительным числом. Следовательно, выражение $\frac{ac}{d}$ будет больше нуля.
Ответ: $\frac{ac}{d} > 0$.

6) $\frac{a}{bc}$;
Числитель $a > 0$ (положительный). Определим знак знаменателя $bc$. Так как $b > 0$ и $c < 0$, их произведение $bc < 0$ (отрицательное). Частное от деления положительного числа на отрицательное всегда является отрицательным числом. Следовательно, выражение $\frac{a}{bc}$ будет меньше нуля.
Ответ: $\frac{a}{bc} < 0$.

7) abcd;
В выражении $abcd$ два положительных множителя ($a$ и $b$) и два отрицательных множителя ($c$ и $d$). Так как количество отрицательных множителей четное (равно двум), то их произведение будет положительным. $(+) \cdot (+) \cdot (-) \cdot (-) = (+)$. Следовательно, выражение $abcd$ будет больше нуля.
Ответ: $abcd > 0$.

8) $\frac{b}{acd}$;
Числитель $b > 0$ (положительный). Определим знак знаменателя $acd$. В знаменателе один положительный множитель ($a$) и два отрицательных ($c$ и $d$). Произведение $acd$ будет положительным, так как количество отрицательных множителей четное. Частное от деления положительного числа ($b$) на положительное ($acd$) является положительным числом. Следовательно, выражение $\frac{b}{acd}$ будет больше нуля.
Ответ: $\frac{b}{acd} > 0$.

31. Что можно сказать о знаках чисел a и b, если:

1) $ab > 0;$

2) $ab < 0;$

3) $\frac{a}{b} > 0;$

4) $\frac{a}{b} < 0;$

5) $a^2b > 0;$

6) $a^2b < 0?$

1) Если произведение двух чисел $ab$ больше нуля, это означает, что оба числа имеют одинаковый знак. Это возможно в двух случаях: либо оба числа положительные ($a > 0$ и $b > 0$), либо оба числа отрицательные ($a < 0$ и $b < 0$).
Ответ: Числа $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные).

2) Если произведение двух чисел $ab$ меньше нуля, это означает, что числа имеют разные знаки. Это возможно в двух случаях: либо $a$ положительное, а $b$ отрицательное ($a > 0$ и $b < 0$), либо $a$ отрицательное, а $b$ положительное ($a < 0$ и $b > 0$).
Ответ: Числа $a$ и $b$ имеют противоположные знаки (одно положительное, другое отрицательное).

3) Если частное двух чисел $\frac{a}{b}$ больше нуля, то, как и в случае с произведением, это означает, что оба числа имеют одинаковый знак. Из самого вида дроби следует, что $b \ne 0$. Возможны два случая: либо оба числа положительные ($a > 0$ и $b > 0$), либо оба числа отрицательные ($a < 0$ и $b < 0$).
Ответ: Числа $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные).

4) Если частное двух чисел $\frac{a}{b}$ меньше нуля, то, как и в случае с произведением, это означает, что числа имеют разные знаки. Из самого вида дроби следует, что $b \ne 0$. Возможны два случая: либо $a$ положительное, а $b$ отрицательное ($a > 0$ и $b < 0$), либо $a$ отрицательное, а $b$ положительное ($a < 0$ и $b > 0$).
Ответ: Числа $a$ и $b$ имеют противоположные знаки (одно положительное, другое отрицательное).

5) В неравенстве $a^2b > 0$ множитель $a^2$ (квадрат числа) всегда неотрицателен. Если $a = 0$, то $a^2b = 0$, что не удовлетворяет условию строгого неравенства. Следовательно, $a \ne 0$, а значит $a^2$ всегда строго больше нуля ($a^2 > 0$). Так как первый множитель ($a^2$) положителен, то для того, чтобы все произведение было положительным, второй множитель ($b$) также должен быть положительным.
Ответ: Число $a$ может быть любым, кроме нуля ($a \ne 0$), а число $b$ должно быть положительным ($b > 0$).

6) В неравенстве $a^2b < 0$ множитель $a^2$ всегда положителен при $a \ne 0$ (случай $a=0$ не подходит, так как $0 < 0$ - неверно). Поскольку множитель $a^2$ положителен, знак всего произведения определяется знаком множителя $b$. Для того, чтобы произведение было отрицательным, число $b$ должно быть отрицательным.
Ответ: Число $a$ может быть любым, кроме нуля ($a \ne 0$), а число $b$ должно быть отрицательным ($b < 0$).

32. Поясните, почему при любых значениях переменной (или переменных) верно неравенство:

1) $a^2 \ge 0;$

2) $a^2 + 1 > 0;$

3) $(a + 1)^2 \ge 0;$

4) $a^2 - 4a + 4 \ge 0;$

5) $a^2 + b^2 \ge 0;$

6) $a^2 + b^2 + 2 > 0;$

7) $(a - 2)^2 + (b + 1)^2 \ge 0;$

8) $\sqrt{a^2 + 3} > 0.$

1) $a^2 \ge 0$;

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. Если число $a$ положительное, то его квадрат $a^2$ положителен. Если число $a$ отрицательное, то его квадрат $a^2$ также положителен (произведение двух отрицательных чисел). Если $a = 0$, то $a^2 = 0$. Таким образом, при любом значении переменной $a$ выражение $a^2$ всегда больше или равно нулю. Равенство достигается при $a = 0$.
Ответ: Неравенство верно, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен.

2) $a^2 + 1 > 0$;

Из предыдущего пункта мы знаем, что $a^2 \ge 0$ для любого значения $a$. Если к обеим частям этого неравенства прибавить 1, получим $a^2 + 1 \ge 0 + 1$, то есть $a^2 + 1 \ge 1$. Поскольку $1 > 0$, то и $a^2 + 1$ всегда будет строго больше нуля. Минимальное значение выражения $a^2 + 1$ равно 1 (при $a=0$).
Ответ: Неравенство верно, так как оно представляет собой сумму неотрицательного числа $a^2$ и положительного числа 1.

3) $(a + 1)^2 \ge 0$;

Это выражение является квадратом некоторого числа, а именно числа $(a + 1)$. Как и в пункте 1, квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Вне зависимости от значения $a$, выражение $(a+1)$ будет каким-либо действительным числом, и его квадрат будет больше или равен нулю. Равенство нулю достигается, когда $a + 1 = 0$, то есть при $a = -1$.
Ответ: Неравенство верно, так как левая часть представляет собой квадрат выражения, а квадрат любого числа всегда неотрицателен.

4) $a^2 - 4a + 4 \ge 0$;

Выражение в левой части неравенства является полным квадратом. Используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, мы можем свернуть его: $a^2 - 4a + 4 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a - 2)^2$. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству $(a - 2)^2 \ge 0$. Как было показано ранее, квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Равенство достигается при $a - 2 = 0$, то есть при $a = 2$.
Ответ: Неравенство верно, так как его левая часть является полным квадратом $(a-2)^2$, который всегда неотрицателен.

5) $a^2 + b^2 \ge 0$;

Данное неравенство содержит две переменные. Для любых действительных чисел $a$ и $b$ верны неравенства $a^2 \ge 0$ и $b^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также является неотрицательным числом. Следовательно, $a^2 + b^2 \ge 0$. Равенство нулю возможно только в том случае, когда оба слагаемых равны нулю одновременно, то есть $a^2 = 0$ и $b^2 = 0$, что означает $a = 0$ и $b = 0$.
Ответ: Неравенство верно, так как оно представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых $a^2$ и $b^2$.

6) $a^2 + b^2 + 2 > 0$;

Как было установлено в пункте 5, сумма квадратов $a^2 + b^2$ всегда неотрицательна: $a^2 + b^2 \ge 0$. Прибавив к обеим частям этого неравенства положительное число 2, мы получим $a^2 + b^2 + 2 \ge 2$. Так как $2 > 0$, то и все выражение $a^2 + b^2 + 2$ будет всегда строго больше нуля. Его наименьшее значение равно 2 и достигается при $a = 0$ и $b = 0$.
Ответ: Неравенство верно, так как представляет собой сумму неотрицательного выражения $a^2+b^2$ и положительного числа 2.

7) $(a - 2)^2 + (b + 1)^2 \ge 0$;

Левая часть этого неравенства является суммой двух слагаемых: $(a - 2)^2$ и $(b + 1)^2$. Каждое из этих слагаемых представляет собой квадрат некоторого действительного числа, а значит, каждое из них неотрицательно: $(a - 2)^2 \ge 0$ и $(b + 1)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также всегда неотрицательна. Равенство нулю достигается только тогда, когда оба слагаемых равны нулю: $a - 2 = 0$ и $b + 1 = 0$, то есть при $a = 2$ и $b = -1$.
Ответ: Неравенство верно, так как является суммой двух квадратов, каждый из которых неотрицателен.

8) $\sqrt{a^2 + 3} > 0$;

Рассмотрим подкоренное выражение $a^2 + 3$. Так как $a^2 \ge 0$ для любого $a$, то $a^2 + 3 \ge 3$. Это означает, что подкоренное выражение всегда является строго положительным числом. Арифметический квадратный корень из строго положительного числа всегда является строго положительным числом. Наименьшее значение подкоренного выражения равно 3 (при $a=0$), следовательно, наименьшее значение всего выражения равно $\sqrt{3}$. Поскольку $\sqrt{3} > 0$, то и исходное неравенство верно при любых значениях переменной $a$.
Ответ: Неравенство верно, так как подкоренное выражение $a^2+3$ всегда строго положительно, а корень из положительного числа также положителен.

33. Сравните с нулём значение выражения, где $a$ — произвольное число:

1) $4 + a^2;$

2) $(4 - a)^2;$

3) $-4 - a^2;$

4) $-4 - (a - 4)^2;$

5) $(-4)^8 + (a - 8)^4;$

6) $(4 - a)^2 + (4a - 1000)^2.$

1) Рассмотрим выражение $4 + a^2$.

Квадрат любого произвольного числа $a$, то есть $a^2$, является неотрицательной величиной. Это означает, что $a^2 \ge 0$.

Следовательно, сумма положительного числа 4 и неотрицательного числа $a^2$ всегда будет положительной. Точнее, $4 + a^2 \ge 4 + 0$, то есть $4 + a^2 \ge 4$.

Поскольку $4 > 0$, то и выражение $4 + a^2$ всегда больше нуля.

Ответ: значение выражения больше нуля.

2) Рассмотрим выражение $(4 - a)^2$.

Данное выражение представляет собой квадрат числа $(4 - a)$. Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным, то есть большим или равным нулю.

Таким образом, $(4 - a)^2 \ge 0$ для любого значения $a$.

Значение выражения равно нулю, если $4 - a = 0$, то есть при $a = 4$. Во всех остальных случаях значение выражения строго больше нуля.

Ответ: значение выражения больше или равно нулю.

3) Рассмотрим выражение $-4 - a^2$.

Мы знаем, что $a^2 \ge 0$. Умножив это неравенство на -1, получим $-a^2 \le 0$.

Выражение $-4 - a^2$ можно представить как сумму отрицательного числа -4 и неположительного числа $-a^2$.

Так как $-a^2 \le 0$, то $-4 - a^2 \le -4 + 0$, то есть $-4 - a^2 \le -4$.

Поскольку $-4 < 0$, то и выражение $-4 - a^2$ всегда меньше нуля.

Ответ: значение выражения меньше нуля.

4) Рассмотрим выражение $-4 - (a - 4)^2$.

Выражение $(a - 4)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(a - 4)^2 \ge 0$.

Следовательно, выражение $-(a - 4)^2$ всегда неположительно: $-(a - 4)^2 \le 0$.

Мы вычитаем из -4 неотрицательное число или, что то же самое, прибавляем к -4 неположительное число. Результат всегда будет меньше или равен -4.

$-4 - (a - 4)^2 \le -4$.

Так как $-4 < 0$, то значение выражения всегда меньше нуля.

Ответ: значение выражения меньше нуля.

5) Рассмотрим выражение $(-4)^8 + (a - 8)^4$.

Первое слагаемое, $(-4)^8$, это отрицательное число, возведенное в четную степень (8). Результат будет положительным: $(-4)^8 = 4^8 > 0$.

Второе слагаемое, $(a - 8)^4$, это выражение, возведенное в четную степень (4). Следовательно, его значение всегда неотрицательно: $(a - 8)^4 \ge 0$.

Сумма строго положительного числа $4^8$ и неотрицательного числа $(a - 8)^4$ всегда будет строго положительной.

$(-4)^8 + (a - 8)^4 \ge 4^8 + 0 > 0$.

Ответ: значение выражения больше нуля.

6) Рассмотрим выражение $(4 - a)^2 + (4a - 1000)^2$.

Это выражение является суммой двух квадратов.

Первое слагаемое, $(4 - a)^2$, неотрицательно: $(4 - a)^2 \ge 0$. Оно равно нулю только при $a = 4$.

Второе слагаемое, $(4a - 1000)^2$, также неотрицательно: $(4a - 1000)^2 \ge 0$. Оно равно нулю только при $4a - 1000 = 0$, то есть при $a = 250$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых всегда неотрицательна. Чтобы вся сумма была равна нулю, необходимо, чтобы оба слагаемых были равны нулю одновременно. Однако, это невозможно, так как переменная $a$ не может одновременно быть равной 4 и 250.

Это означает, что хотя бы одно из слагаемых всегда будет строго положительным. Следовательно, их сумма всегда будет строго больше нуля.

Ответ: значение выражения больше нуля.

34. Упростите выражение:

1) $2a(5a - 7) - 5a(3 - 2a)$;

2) $(2b - 3)(4b + 9)$;

3) $(2c - 6)(8c + 5) - (5c + 2)(5c - 2)$;

4) $16m^2 - (3 - 4m)(3 + 4m)$;

5) $(2x - 1)^2 + (2x + 1)^2$;

6) $(x - 4)(x + 4) - (x - 8)^2$.

1) $2a(5a - 7) - 5a(3 - 2a)$

Для упрощения этого выражения сначала раскроем скобки. Для этого умножим одночлены $2a$ и $-5a$ на многочлены в скобках:
$2a(5a - 7) - 5a(3 - 2a) = (2a \cdot 5a + 2a \cdot (-7)) - (5a \cdot 3 + 5a \cdot (-2a))$
$= 10a^2 - 14a - (15a - 10a^2)$
Теперь раскроем вторые скобки, поменяв знаки на противоположные:
$= 10a^2 - 14a - 15a + 10a^2$
Приведем подобные слагаемые, сгруппировав члены с $a^2$ и члены с $a$:
$= (10a^2 + 10a^2) + (-14a - 15a) = 20a^2 - 29a$.

Ответ: $20a^2 - 29a$

2) $(2b - 3)(4b + 9)$

Чтобы перемножить два двучлена, воспользуемся правилом умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго):
$(2b - 3)(4b + 9) = 2b \cdot 4b + 2b \cdot 9 - 3 \cdot 4b - 3 \cdot 9$
Выполним умножение:
$= 8b^2 + 18b - 12b - 27$
Теперь приведем подобные слагаемые (члены с переменной $b$):
$= 8b^2 + (18b - 12b) - 27 = 8b^2 + 6b - 27$.

Ответ: $8b^2 + 6b - 27$

3) $(2c - 6)(8c + 5) - (5c + 2)(5c - 2)$

Упростим выражение по частям.
Сначала раскроем произведение первых двух скобок:
$(2c - 6)(8c + 5) = 2c \cdot 8c + 2c \cdot 5 - 6 \cdot 8c - 6 \cdot 5 = 16c^2 + 10c - 48c - 30 = 16c^2 - 38c - 30$.
Теперь упростим вторую часть. Произведение $(5c + 2)(5c - 2)$ является формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$(5c + 2)(5c - 2) = (5c)^2 - 2^2 = 25c^2 - 4$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$(16c^2 - 38c - 30) - (25c^2 - 4)$
Раскроем скобки, изменив знаки второго выражения на противоположные:
$= 16c^2 - 38c - 30 - 25c^2 + 4$
Приведем подобные слагаемые:
$= (16c^2 - 25c^2) - 38c + (-30 + 4) = -9c^2 - 38c - 26$.

Ответ: $-9c^2 - 38c - 26$

4) $16m^2 - (3 - 4m)(3 + 4m)$

Заметим, что произведение $(3 - 4m)(3 + 4m)$ соответствует формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=3$ и $b=4m$.
Применим формулу:
$(3 - 4m)(3 + 4m) = 3^2 - (4m)^2 = 9 - 16m^2$.
Подставим результат в исходное выражение:
$16m^2 - (9 - 16m^2)$
Раскроем скобки, поменяв знаки внутри них:
$= 16m^2 - 9 + 16m^2$
Приведем подобные слагаемые:
$= (16m^2 + 16m^2) - 9 = 32m^2 - 9$.

Ответ: $32m^2 - 9$

5) $(2x - 1)^2 + (2x + 1)^2$

Для упрощения этого выражения используем формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Раскроем первую скобку (квадрат разности):
$(2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1$.
Раскроем вторую скобку (квадрат суммы):
$(2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$.
Теперь сложим полученные выражения:
$(4x^2 - 4x + 1) + (4x^2 + 4x + 1) = 4x^2 - 4x + 1 + 4x^2 + 4x + 1$
Приведем подобные слагаемые:
$= (4x^2 + 4x^2) + (-4x + 4x) + (1 + 1) = 8x^2 + 0 + 2 = 8x^2 + 2$.

Ответ: $8x^2 + 2$

6) $(x - 4)(x + 4) - (x - 8)^2$

Упростим каждую часть выражения по отдельности.
Первая часть $(x - 4)(x + 4)$ — это формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$x^2 - 4^2 = x^2 - 16$.
Вторая часть $(x - 8)^2$ — это формула квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:
$x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 = x^2 - 16x + 64$.
Подставим результаты в исходное выражение:
$(x^2 - 16) - (x^2 - 16x + 64)$
Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:
$= x^2 - 16 - x^2 + 16x - 64$
Приведем подобные слагаемые:
$= (x^2 - x^2) + 16x + (-16 - 64) = 0 + 16x - 80 = 16x - 80$.

Ответ: $16x - 80$

35. Все натуральные числа от 1 до 1000 включительно разбиты на две группы: чётные числа и нечётные числа. В какой из групп сумма всех цифр, используемых для записи чисел, больше и на сколько?

Для решения этой задачи разобьем все числа от 1 до 1000 на две группы:

• Группа нечётных чисел: {1, 3, 5, ..., 999}. В этой группе 500 чисел.
• Группа чётных чисел: {2, 4, 6, ..., 1000}. В этой группе также 500 чисел.

Обозначим сумму цифр всех чисел в группе нечётных чисел как $S_{нечёт}$ и сумму цифр всех чисел в группе чётных чисел как $S_{чёт}$. Нам нужно сравнить эти две суммы.

Удобный способ сравнения — разбить все числа на 500 пар последовательных чисел, где первое число нечётное, а второе — чётное: (1, 2), (3, 4), (5, 6), ..., (999, 1000).

Общая разность между суммами цифр в двух группах будет равна сумме разностей в каждой паре:$S_{чёт} - S_{нечёт} = (S(2) - S(1)) + (S(4) - S(3)) + \dots + (S(1000) - S(999))$где $S(n)$ — это сумма цифр числа $n$.

Рассмотрим разность сумм цифр $S(n+1) - S(n)$ для произвольной пары, где $n$ — нечётное число.

1. Случай, когда нечётное число $n$ не оканчивается на 9.

Если последняя цифра числа $n$ не является девяткой, то при прибавлении 1 изменяется только последняя цифра (она увеличивается на 1), а остальные цифры остаются прежними. Например, для пары (123, 124):$S(123) = 1+2+3=6$$S(124) = 1+2+4=7$Разность $S(124) - S(123) = 1$.Это верно для любой пары $(n, n+1)$, где $n$ — нечётное и не оканчивается на 9. Сумма цифр чётного числа в такой паре на 1 больше, чем у нечётного.

В диапазоне от 1 до 999 всего 500 нечётных чисел. Числа, оканчивающиеся на 9, это 9, 19, 29, ..., 999. Таких чисел 100.Следовательно, количество нечётных чисел, не оканчивающихся на 9, равно $500 - 100 = 400$.Вклад этих 400 пар в общую разность составляет $400 \times (+1) = 400$.

2. Случай, когда нечётное число $n$ оканчивается на 9.

Если число $n$ оканчивается на одну или несколько девяток, то при прибавлении 1 происходит перенос разряда.Пусть число $n$ оканчивается ровно на $m$ девяток. Его можно представить в виде $n = A \cdot 10^m - 1$, где число $A$ не оканчивается на 0. (Например, для $n=499$, $m=2$, $A=50$). Более общая запись: $n = K \underbrace{9...9}_{m}$, где последняя цифра числа $K$ не равна 9. Тогда $n+1 = (K+1)\underbrace{0...0}_{m}$.Сумма цифр $S(n) = S(K) + 9m$.Поскольку последняя цифра $K$ не 9, то $S(K+1) = S(K)+1$.Сумма цифр $S(n+1) = S(K+1) = S(K)+1$.Разность в такой паре составляет: $S(n+1) - S(n) = (S(K)+1) - (S(K)+9m) = 1 - 9m$.

Теперь посчитаем количество таких пар для разных $m$:

• $m=1$: Число $n$ оканчивается на одну 9 (например, 9, 19, 29, ..., но не 99, 199). Всего нечётных чисел, оканчивающихся на 9, — 100. Из них 10 чисел оканчиваются на 99 (99, 199, ..., 999). Значит, чисел, оканчивающихся ровно на одну 9, будет $100 - 10 = 90$. Для каждой такой пары разность равна $1 - 9 \times 1 = -8$. Вклад этих 90 пар в общую разность: $90 \times (-8) = -720$.
• $m=2$: Число $n$ оканчивается ровно на две 9 (например, 99, 199, ..., но не 999). Таких чисел 9: 99, 199, 299, 399, 499, 599, 699, 799, 899. Для каждой такой пары разность равна $1 - 9 \times 2 = -17$. Вклад этих 9 пар в общую разность: $9 \times (-17) = -153$.
• $m=3$: Число $n$ оканчивается на три 9. В нашем диапазоне это только одно число: 999. Для этой пары (999, 1000) разность равна $1 - 9 \times 3 = -26$. (Проверка: $S(999)=27$, $S(1000)=1$, разность $1-27=-26$). Вклад этой пары: $1 \times (-26) = -26$.

Итоговый расчёт.

Сложим вклады от всех 500 пар, чтобы найти общую разность $S_{чёт} - S_{нечёт}$:$\Delta = 400 + (-720) + (-153) + (-26) = 400 - 720 - 153 - 26 = -320 - 153 - 26 = -473 - 26 = -499$.

Таким образом, $S_{чёт} - S_{нечёт} = -499$, что означает $S_{нечёт} - S_{чёт} = 499$.Сумма цифр в группе нечётных чисел больше, чем в группе чётных чисел.

Ответ: Сумма всех цифр больше в группе нечётных чисел на 499.