Номер 20, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

20. Докажите, что сумма любых двух взаимно обратных положительных чисел не меньше чем 2.

Пусть дано произвольное положительное число $x$. Согласно условию, $x > 0$.

Взаимно обратным к нему будет число $\frac{1}{x}$. Поскольку $x$ положительно, то и $\frac{1}{x}$ также будет положительным числом.

Нам необходимо доказать, что их сумма не меньше чем 2. Запишем это в виде неравенства: $x + \frac{1}{x} \ge 2$

Доказательство.

Для доказательства преобразуем данное неравенство. Перенесем 2 в левую часть: $x + \frac{1}{x} - 2 \ge 0$

Приведем все слагаемые в левой части к общему знаменателю $x$. Так как $x > 0$, это допустимое преобразование. $\frac{x \cdot x}{x} + \frac{1}{x} - \frac{2 \cdot x}{x} \ge 0$

$\frac{x^2 - 2x + 1}{x} \ge 0$

Заметим, что выражение в числителе является формулой полного квадрата разности: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$. Подставим это в наше неравенство: $\frac{(x-1)^2}{x} \ge 0$

Теперь проанализируем полученное выражение.

Числитель дроби, $(x-1)^2$, является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(x-1)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Знаменатель дроби, $x$, по условию задачи является положительным числом, то есть $x > 0$.

Частное от деления неотрицательного числа (числителя) на положительное число (знаменатель) всегда является неотрицательным. Следовательно, неравенство $\frac{(x-1)^2}{x} \ge 0$ является верным для всех $x > 0$.

Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство $x + \frac{1}{x} \ge 2$ также верно.

Равенство $x + \frac{1}{x} = 2$ достигается только в том случае, когда числитель $\frac{(x-1)^2}{x}$ равен нулю, что возможно только при $(x-1)^2 = 0$, то есть при $x=1$. Если $x=1$, то и $\frac{1}{x}=1$, и их сумма равна $1+1=2$. Во всех остальных случаях ($x > 0$ и $x \neq 1$) сумма будет строго больше 2.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма любых двух взаимно обратных положительных чисел не меньше чем 2.