Номер 13, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

13. Докажите, что:

1) $a^3 - 6a^2 + a - 6 \ge 0$, если $a \ge 6$;

2) $ab + 1 > a + b$, если $a > 1$ и $b > 1$;

3) $\frac{a+3}{3} + \frac{3a-2}{4} < a$, если $a < -6$.

1) Докажем неравенство $a^3 - 6a^2 + a - 6 \ge 0$ при условии $a \ge 6$.

Разложим левую часть неравенства на множители методом группировки:

$a^3 - 6a^2 + a - 6 = (a^3 - 6a^2) + (a - 6)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a^2(a - 6) + 1(a - 6)$

Теперь вынесем общий множитель $(a - 6)$:

$(a - 6)(a^2 + 1)$

Теперь проанализируем полученное выражение с учетом условия $a \ge 6$.

Первый множитель: $(a - 6)$. Так как $a \ge 6$, то $a - 6 \ge 0$. Этот множитель неотрицателен.

Второй множитель: $(a^2 + 1)$. Квадрат любого действительного числа $a^2$ всегда неотрицателен ($a^2 \ge 0$), следовательно, выражение $a^2 + 1$ всегда положительно ($a^2 + 1 \ge 1 > 0$).

Произведение неотрицательного множителя $(a - 6)$ и положительного множителя $(a^2 + 1)$ всегда будет неотрицательным. То есть, $(a - 6)(a^2 + 1) \ge 0$.

Таким образом, исходное неравенство $a^3 - 6a^2 + a - 6 \ge 0$ верно при $a \ge 6$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Докажем неравенство $ab + 1 > a + b$ при условии $a > 1$ и $b > 1$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$ab - a - b + 1 > 0$

Сгруппируем слагаемые и разложим левую часть на множители:

$(ab - a) - (b - 1) > 0$

$a(b - 1) - 1(b - 1) > 0$

$(a - 1)(b - 1) > 0$

Теперь проанализируем полученное выражение с учетом заданных условий $a > 1$ и $b > 1$.

Первый множитель: $(a - 1)$. Так как $a > 1$, то $a - 1 > 0$. Этот множитель положителен.

Второй множитель: $(b - 1)$. Так как $b > 1$, то $b - 1 > 0$. Этот множитель также положителен.

Произведение двух положительных множителей $(a - 1)$ и $(b - 1)$ всегда будет положительным числом.

Следовательно, неравенство $(a - 1)(b - 1) > 0$ верно, а значит, верно и исходное неравенство $ab + 1 > a + b$ при заданных условиях.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3) Докажем неравенство $\frac{a + 3}{3} + \frac{3a - 2}{4} < a$ при условии $a < -6$.

Преобразуем левую часть неравенства, приведя дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{4(a + 3)}{12} + \frac{3(3a - 2)}{12} < a$

$\frac{4a + 12 + 9a - 6}{12} < a$

$\frac{13a + 6}{12} < a$

Умножим обе части неравенства на 12. Так как 12 > 0, знак неравенства не изменится:

$13a + 6 < 12a$

Перенесем члены с переменной $a$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$13a - 12a < -6$

$a < -6$

В результате равносильных преобразований мы получили неравенство $a < -6$, которое соответствует условию задачи. Так как все преобразования были равносильными, то исходное неравенство справедливо при всех $a$, удовлетворяющих условию $a < -6$.

Ответ: Что и требовалось доказать.