Номер 23, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

23. Докажите, что при любых значениях переменной верно неравенство:

1) $\frac{a^2}{a^4 + 1} \leq \frac{1}{2};$

2) $\frac{(5a + 1)^2}{5} \geq 4a.$

1) Требуется доказать, что при любом значении переменной $a$ верно неравенство $\frac{a^2}{a^4 + 1} \le \frac{1}{2}$.

Для начала преобразуем неравенство. Знаменатель дроби в левой части, $a^4 + 1$, всегда положителен, так как $a^4 \ge 0$ для любого $a$, и, следовательно, $a^4 + 1 \ge 1$. Это позволяет нам умножить обе части неравенства на $2(a^4 + 1)$, при этом знак неравенства сохранится.

$2 \cdot a^2 \le 1 \cdot (a^4 + 1)$

$2a^2 \le a^4 + 1$

Перенесём все члены неравенства в одну сторону, чтобы получить сравнение с нулём:

$0 \le a^4 - 2a^2 + 1$

Выражение в правой части является полным квадратом разности $(a^2 - 1)$, так как $a^4 - 2a^2 + 1 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 1 + 1^2 = (a^2 - 1)^2$.

Таким образом, мы приходим к неравенству:

$0 \le (a^2 - 1)^2$

Это неравенство верно для любого действительного значения $a$, поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Так как все наши преобразования были равносильными, то и исходное неравенство верно при любых значениях переменной $a$.

Ответ: Доказано.

2) Требуется доказать, что при любом значении переменной $a$ верно неравенство $\frac{(5a + 1)^2}{5} \ge 4a$.

Умножим обе части неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$(5a + 1)^2 \ge 20a$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(5a)^2 + 2 \cdot (5a) \cdot 1 + 1^2 \ge 20a$

$25a^2 + 10a + 1 \ge 20a$

Перенесём все члены в левую часть неравенства:

$25a^2 + 10a - 20a + 1 \ge 0$

$25a^2 - 10a + 1 \ge 0$

Выражение в левой части является полным квадратом разности $(5a - 1)$, так как $25a^2 - 10a + 1 = (5a)^2 - 2 \cdot 5a \cdot 1 + 1^2 = (5a - 1)^2$.

В результате мы получаем неравенство:

$(5a - 1)^2 \ge 0$

Это неравенство справедливо для любого действительного значения $a$, поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно при любых значениях переменной $a$.

Ответ: Доказано.