Номер 29, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

29. Докажите неравенство:

1) $a^2 + b^2 - 16a + 14b + 114 > 0;$

2) $x^2 + y^2 + 10 \ge 6x - 2y;$

3) $c^2 + 5d^2 + 4cd - 4d + 4 \ge 0.$

1) Для доказательства неравенства $a^2 + b^2 - 16a + 14b + 114 > 0$ сгруппируем слагаемые с переменными $a$ и $b$ и выделим полные квадраты, используя формулы квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Сгруппируем слагаемые в левой части неравенства:
$(a^2 - 16a) + (b^2 + 14b) + 114 > 0$.

Выделим полный квадрат для выражения с переменной $a$:
$a^2 - 16a = a^2 - 2 \cdot a \cdot 8$. Для полного квадрата не хватает слагаемого $8^2=64$.
$a^2 - 16a + 64 = (a - 8)^2$.

Выделим полный квадрат для выражения с переменной $b$:
$b^2 + 14b = b^2 + 2 \cdot b \cdot 7$. Для полного квадрата не хватает слагаемого $7^2=49$.
$b^2 + 14b + 49 = (b + 7)^2$.

Теперь преобразуем левую часть исходного неравенства, представив свободный член $114$ как $64 + 49 + 1$:
$(a^2 - 16a + 64) + (b^2 + 14b + 49) + 1 > 0$.
$(a - 8)^2 + (b + 7)^2 + 1 > 0$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, поэтому $(a - 8)^2 \ge 0$ и $(b + 7)^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна: $(a - 8)^2 + (b + 7)^2 \ge 0$.
Прибавляя к неотрицательному выражению 1, мы получаем строго положительное значение:
$(a - 8)^2 + (b + 7)^2 + 1 \ge 1 > 0$.
Следовательно, неравенство выполняется для любых значений $a$ и $b$.

Ответ: Неравенство доказано.

2) Для доказательства неравенства $x^2 + y^2 + 10 \ge 6x - 2y$ перенесем все слагаемые в левую часть и выделим полные квадраты.

Перенесем слагаемые из правой части в левую, изменив их знаки:
$x^2 + y^2 + 10 - 6x + 2y \ge 0$.

Сгруппируем слагаемые:
$(x^2 - 6x) + (y^2 + 2y) + 10 \ge 0$.

Выделим полные квадраты для $x$ и $y$:
$x^2 - 6x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3$. Добавим $3^2=9$.
$y^2 + 2y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 1$. Добавим $1^2=1$.

Представим $10$ как $9+1$ и преобразуем выражение:
$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 2y + 1) \ge 0$.
$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 \ge 0$.

Выражение $(x - 3)^2$ всегда неотрицательно, так как является квадратом числа: $(x - 3)^2 \ge 0$.
Выражение $(y + 1)^2$ также всегда неотрицательно: $(y + 1)^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных выражений всегда неотрицательна. Таким образом, неравенство верно для любых значений $x$ и $y$.

Ответ: Неравенство доказано.

3) Для доказательства неравенства $c^2 + 5d^2 + 4cd - 4d + 4 \ge 0$ сгруппируем слагаемые и выделим полные квадраты.

Наличие слагаемого $4cd$ подсказывает, что один из полных квадратов будет содержать обе переменные. Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$.
Сгруппируем слагаемые $c^2$, $4cd$ и часть от $5d^2$.
$c^2 + 4cd = c^2 + 2 \cdot c \cdot (2d)$. Это первые два слагаемых из выражения $(c + 2d)^2 = c^2 + 4cd + 4d^2$.

Представим $5d^2$ как $4d^2 + d^2$ и перегруппируем слагаемые в левой части неравенства:
$(c^2 + 4cd + 4d^2) + (d^2 - 4d + 4) \ge 0$.

Теперь свернем каждую группу слагаемых в полный квадрат:
Первая группа: $c^2 + 4cd + 4d^2 = (c + 2d)^2$.
Вторая группа: $d^2 - 4d + 4 = d^2 - 2 \cdot d \cdot 2 + 2^2 = (d - 2)^2$.

Подставим полученные выражения в неравенство:
$(c + 2d)^2 + (d - 2)^2 \ge 0$.

Каждое слагаемое в левой части является квадратом действительного числа, а значит, оно неотрицательно: $(c + 2d)^2 \ge 0$ и $(d - 2)^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел также всегда неотрицательна. Следовательно, неравенство верно для любых значений $c$ и $d$.

Ответ: Неравенство доказано.