Номер 26, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

26. Выполняется ли неравенство $\frac{a^2+4}{2} \geq \sqrt{a^2+3}$ при всех значениях $a$?

Для того чтобы определить, выполняется ли данное неравенство при всех значениях $a$, мы проведем его анализ и равносильные преобразования.

Исходное неравенство:

$$ \frac{a^2 + 4}{2} \ge \sqrt{a^2 + 3} $$

Заметим, что выражение $a^2$ всегда неотрицательно, то есть $a^2 \ge 0$ для любого действительного числа $a$.
Следовательно, подкоренное выражение $a^2 + 3$ всегда положительно ($a^2 + 3 \ge 3$), и его корень $\sqrt{a^2 + 3}$ определен для всех $a \in \mathbb{R}$.
Левая часть неравенства $\frac{a^2 + 4}{2}$ также всегда положительна, так как $a^2 + 4 \ge 4$, а значит $\frac{a^2 + 4}{2} \ge 2$.
Поскольку обе части неравенства являются неотрицательными, мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:

$$ \left(\frac{a^2 + 4}{2}\right)^2 \ge \left(\sqrt{a^2 + 3}\right)^2 $$

Выполним возведение в степень:

$$ \frac{(a^2 + 4)^2}{4} \ge a^2 + 3 $$

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$$ (a^2 + 4)^2 \ge 4(a^2 + 3) $$

Раскроем скобки в обеих частях. В левой части используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$$ (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 4 + 4^2 \ge 4a^2 + 12 $$

$$ a^4 + 8a^2 + 16 \ge 4a^2 + 12 $$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$$ a^4 + 8a^2 - 4a^2 + 16 - 12 \ge 0 $$

$$ a^4 + 4a^2 + 4 \ge 0 $$

Заметим, что полученное выражение в левой части является полным квадратом. Его можно свернуть по формуле квадрата суммы:

$$ (a^2 + 2)^2 \ge 0 $$

Это неравенство является верным для любого действительного значения $a$. Выражение $a^2$ всегда больше или равно нулю, поэтому $a^2+2$ всегда больше или равно 2. Квадрат любого ненулевого действительного числа положителен, поэтому $(a^2 + 2)^2$ всегда будет положительным числом, и, следовательно, всегда будет больше или равно нулю.
Так как мы пришли к верному неравенству с помощью равносильных преобразований, то и исходное неравенство выполняется при всех значениях $a$.

Альтернативное решение с заменой переменной:

Сделаем замену $t = \sqrt{a^2+3}$. Поскольку $a^2 \ge 0$, то $a^2+3 \ge 3$, и значит $t \ge \sqrt{3}$.
Из замены следует, что $t^2 = a^2+3$, откуда $a^2 = t^2-3$.
Подставим это в исходное неравенство:

$$ \frac{(t^2-3)+4}{2} \ge t $$

$$ \frac{t^2+1}{2} \ge t $$

Умножим обе части на 2:

$$ t^2+1 \ge 2t $$

Перенесем $2t$ в левую часть:

$$ t^2 - 2t + 1 \ge 0 $$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$$ (t-1)^2 \ge 0 $$

Это неравенство верно для любого значения $t$. Так как наша замена $t = \sqrt{a^2+3}$ корректна для любого действительного $a$, то и исходное неравенство выполняется для всех $a$.

Ответ: Да, неравенство выполняется при всех значениях $a$.