Номер 134, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

134. Решите неравенство:

1) $3 - 5(2x + 4) \ge 7 - 2x;$

2) $6x - 3(x - 1) \le 2 + 5x;$

3) $x - 2(x - 1) \ge 10 + 3(x + 4);$

4) $2(2x - 3.5) - 3(2 - 3x) < 6(1 - x);$

5) $(x + 1)(x - 2) \le (x - 3)(x + 3);$

6) $(4x - 3)^2 + (3x + 2)^2 \ge (5x + 1)^2;$

7) $\frac{2x - 1}{4} \ge \frac{3x - 5}{5};$

8) $\frac{3x + 7}{4} - \frac{5x - 2}{2} < x;$

9) $(x - 5)(x + 1) \le 3 + (x - 2)^2;$

10) $\frac{x + 1}{2} - \frac{x - 3}{3} > 2 + \frac{x}{6};$

11) $(6x - 1)^2 - 4x(9x - 3) \le 1;$

12) $\frac{x - 3}{9} - \frac{x + 4}{4} > \frac{x - 8}{6}.$

1) $3 - 5(2x + 4) \geq 7 - 2x$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$3 - 10x - 20 \geq 7 - 2x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-17 - 10x \geq 7 - 2x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую. Перенесем $-10x$ вправо, а $7$ влево, изменив их знаки:

$-17 - 7 \geq 10x - 2x$

$-24 \geq 8x$

Разделим обе части на 8. Так как 8 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$-3 \geq x$

Это эквивалентно записи $x \leq -3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3]$

2) $6x - 3(x - 1) \leq 2 + 5x$

Раскроем скобки:

$6x - 3x + 3 \leq 2 + 5x$

Приведем подобные слагаемые слева:

$3x + 3 \leq 2 + 5x$

Перенесем слагаемые с $x$ вправо, а числа влево:

$3 - 2 \leq 5x - 3x$

$1 \leq 2x$

Разделим обе части на 2:

$0.5 \leq x$

Это эквивалентно записи $x \geq 0.5$.

Ответ: $x \in [0.5; +\infty)$

3) $x - 2(x - 1) \geq 10 + 3(x + 4)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$x - 2x + 2 \geq 10 + 3x + 12$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$-x + 2 \geq 3x + 22$

Перенесем слагаемые с $x$ вправо, а числа влево:

$2 - 22 \geq 3x + x$

$-20 \geq 4x$

Разделим обе части на 4:

$-5 \geq x$

Это эквивалентно записи $x \leq -5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5]$

4) $2(2x - 3.5) - 3(2 - 3x) < 6(1 - x)$

Раскроем все скобки:

$4x - 7 - 6 + 9x < 6 - 6x$

Приведем подобные слагаемые слева:

$13x - 13 < 6 - 6x$

Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:

$13x + 6x < 6 + 13$

$19x < 19$

Разделим обе части на 19:

$x < 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$

5) $(x + 1)(x - 2) \leq (x - 3)(x + 3)$

Раскроем скобки. В левой части перемножим многочлены, в правой используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$x^2 - 2x + x - 2 \leq x^2 - 9$

Приведем подобные слагаемые слева:

$x^2 - x - 2 \leq x^2 - 9$

Уберем $x^2$ из обеих частей:

$-x - 2 \leq -9$

Перенесем -2 вправо:

$-x \leq -9 + 2$

$-x \leq -7$

Умножим обе части на -1, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x \geq 7$

Ответ: $x \in [7; +\infty)$

6) $(4x - 3)^2 + (3x + 2)^2 \geq (5x + 1)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы/разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:

$(16x^2 - 24x + 9) + (9x^2 + 12x + 4) \geq 25x^2 + 10x + 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$25x^2 - 12x + 13 \geq 25x^2 + 10x + 1$

Уберем $25x^2$ из обеих частей:

$-12x + 13 \geq 10x + 1$

Перенесем слагаемые с $x$ вправо, а числа влево:

$13 - 1 \geq 10x + 12x$

$12 \geq 22x$

Разделим обе части на 22:

$\frac{12}{22} \geq x$

Сократим дробь:

$\frac{6}{11} \geq x$

Это эквивалентно записи $x \leq \frac{6}{11}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{6}{11}]$

7) $\frac{2x - 1}{4} \geq \frac{3x - 5}{5}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 5, то есть на 20. Так как 20 > 0, знак неравенства не изменится:

$20 \cdot \frac{2x - 1}{4} \geq 20 \cdot \frac{3x - 5}{5}$

$5(2x - 1) \geq 4(3x - 5)$

Раскроем скобки:

$10x - 5 \geq 12x - 20$

Перенесем слагаемые с $x$ вправо, а числа влево:

$-5 + 20 \geq 12x - 10x$

$15 \geq 2x$

$7.5 \geq x$

Это эквивалентно записи $x \leq 7.5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 7.5]$

8) $\frac{3x + 7}{4} - \frac{5x - 2}{2} < x$

Умножим все части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 2, то есть на 4:

$4 \cdot \frac{3x + 7}{4} - 4 \cdot \frac{5x - 2}{2} < 4 \cdot x$

$(3x + 7) - 2(5x - 2) < 4x$

Раскроем скобки:

$3x + 7 - 10x + 4 < 4x$

Приведем подобные слагаемые слева:

$-7x + 11 < 4x$

Перенесем $-7x$ вправо:

$11 < 4x + 7x$

$11 < 11x$

Разделим обе части на 11:

$1 < x$

Это эквивалентно записи $x > 1$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$

9) $(x - 5)(x + 1) \leq 3 + (x - 2)^2$

Раскроем скобки в обеих частях:

$x^2 + x - 5x - 5 \leq 3 + (x^2 - 4x + 4)$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 4x - 5 \leq x^2 - 4x + 7$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 - 4x - 5 - x^2 + 4x - 7 \leq 0$

$(x^2 - x^2) + (-4x + 4x) + (-5 - 7) \leq 0$

$-12 \leq 0$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что исходное неравенство верно при любом значении $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

10) $\frac{x + 1}{2} - \frac{x - 3}{3} > 2 + \frac{x}{6}$

Умножим все части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 2, 3 и 6, то есть на 6:

$6 \cdot \frac{x + 1}{2} - 6 \cdot \frac{x - 3}{3} > 6 \cdot 2 + 6 \cdot \frac{x}{6}$

$3(x + 1) - 2(x - 3) > 12 + x$

Раскроем скобки:

$3x + 3 - 2x + 6 > 12 + x$

Приведем подобные слагаемые слева:

$x + 9 > 12 + x$

Перенесем $x$ из правой части в левую:

$x - x > 12 - 9$

$0 > 3$

Мы получили неверное числовое неравенство. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$

11) $(6x - 1)^2 - 4x(9x - 3) \leq 1$

Раскроем скобки в левой части:

$(36x^2 - 12x + 1) - (36x^2 - 12x) \leq 1$

$36x^2 - 12x + 1 - 36x^2 + 12x \leq 1$

Приведем подобные слагаемые:

$(36x^2 - 36x^2) + (-12x + 12x) + 1 \leq 1$

$1 \leq 1$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что исходное неравенство верно при любом значении $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

12) $\frac{x - 3}{9} - \frac{x + 4}{4} > \frac{x - 8}{6}$

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 9, 4 и 6. $НОК(9, 4, 6) = 36$. Умножим все части неравенства на 36:

$36 \cdot \frac{x - 3}{9} - 36 \cdot \frac{x + 4}{4} > 36 \cdot \frac{x - 8}{6}$

$4(x - 3) - 9(x + 4) > 6(x - 8)$

Раскроем скобки:

$4x - 12 - 9x - 36 > 6x - 48$

Приведем подобные слагаемые слева:

$-5x - 48 > 6x - 48$

Перенесем слагаемые с $x$ вправо, а числа влево:

$-48 + 48 > 6x + 5x$

$0 > 11x$

Разделим обе части на 11:

$0 > x$

Это эквивалентно записи $x < 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$