Номер 135, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

135. Найдите множество решений неравенства:

1) $3(4x + 9) + 5 > 7(8 - x);$

2) $(2 - y)(3 + y) \leq (4 + y)(6 - y);$

3) $(y + 3)(y - 5) - (y - 1)^2 > -16;$

4) $\frac{3x - 7}{5} - 1 \geq \frac{2x - 6}{3};$

5) $\frac{2x}{3} - \frac{x - 1}{6} - \frac{x + 2}{2} < 0;$

6) $\frac{y - 1}{2} - \frac{2y + 1}{8} - y < 2.$

1) $3(4x + 9) + 5 > 7(8 - x)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$12x + 27 + 5 > 56 - 7x$

Приведем подобные слагаемые:

$12x + 32 > 56 - 7x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую, изменив их знаки на противоположные:

$12x + 7x > 56 - 32$

Снова приведем подобные слагаемые:

$19x > 24$

Разделим обе части неравенства на 19:

$x > \frac{24}{19}$

Ответ: $x \in (\frac{24}{19}; +\infty)$

2) $(2 - y)(3 + y) \le (4 + y)(6 - y)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$6 + 2y - 3y - y^2 \le 24 - 4y + 6y - y^2$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$6 - y - y^2 \le 24 + 2y - y^2$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а постоянные — в правую. Члены $-y^2$ взаимно уничтожатся.

$-y - 2y \le 24 - 6$

Приведем подобные слагаемые:

$-3y \le 18$

Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства на противоположный:

$y \ge \frac{18}{-3}$

$y \ge -6$

Ответ: $y \in [-6; +\infty)$

3) $(y + 3)(y - 5) - (y - 1)^2 > -16$

Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов и формулу квадрата разности:

$(y^2 - 5y + 3y - 15) - (y^2 - 2y + 1) > -16$

Приведем подобные слагаемые в первых скобках и раскроем вторые скобки, меняя знаки:

$y^2 - 2y - 15 - y^2 + 2y - 1 > -16$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(y^2 - y^2) + (-2y + 2y) + (-15 - 1) > -16$

$-16 > -16$

Получили неверное числовое неравенство. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет)

4) $\frac{3x - 7}{5} - 1 \ge \frac{2x - 6}{3}$

Приведем левую часть к общему знаменателю 5:

$\frac{3x - 7 - 5}{5} \ge \frac{2x - 6}{3}$

$\frac{3x - 12}{5} \ge \frac{2x - 6}{3}$

Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (5 и 3), то есть на 15, чтобы избавиться от дробей:

$15 \cdot \frac{3x - 12}{5} \ge 15 \cdot \frac{2x - 6}{3}$

$3(3x - 12) \ge 5(2x - 6)$

Раскроем скобки:

$9x - 36 \ge 10x - 30$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$9x - 10x \ge -30 + 36$

$-x \ge 6$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le -6$

Ответ: $x \in (-\infty; -6]$

5) $\frac{2x}{3} - \frac{x - 1}{6} - \frac{x + 2}{2} < 0$

Найдем наименьший общий знаменатель дробей (3, 6 и 2), который равен 6. Умножим все члены неравенства на 6:

$6 \cdot \frac{2x}{3} - 6 \cdot \frac{x - 1}{6} - 6 \cdot \frac{x + 2}{2} < 6 \cdot 0$

$2(2x) - 1(x - 1) - 3(x + 2) < 0$

Раскроем скобки:

$4x - x + 1 - 3x - 6 < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(4x - x - 3x) + (1 - 6) < 0$

$0 \cdot x - 5 < 0$

$-5 < 0$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство верно при любом значении $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

6) $\frac{y - 1}{2} - \frac{2y + 1}{8} - y < 2$

Найдем наименьший общий знаменатель (2 и 8), который равен 8. Умножим все члены неравенства на 8:

$8 \cdot \frac{y - 1}{2} - 8 \cdot \frac{2y + 1}{8} - 8 \cdot y < 8 \cdot 2$

$4(y - 1) - 1(2y + 1) - 8y < 16$

Раскроем скобки:

$4y - 4 - 2y - 1 - 8y < 16$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(4y - 2y - 8y) + (-4 - 1) < 16$

$-6y - 5 < 16$

Перенесем -5 в правую часть:

$-6y < 16 + 5$

$-6y < 21$

Разделим обе части на -6, изменив знак неравенства на противоположный:

$y > \frac{21}{-6}$

Сократим дробь:

$y > -\frac{7}{2}$

Ответ: $y \in (-\frac{7}{2}; +\infty)$