Номер 137, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

137. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

1) $\frac{4x + 13}{10} - \frac{5 + 2x}{4} > \frac{6 - 7x}{20} - 2;$

2) $(x - 1)(x + 1) - (x - 4)(x + 2) \geq 0.$

1) Исходное неравенство:

$$ \frac{4x + 13}{10} - \frac{5 + 2x}{4} > \frac{6 - 7x}{20} - 2 $$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 10, 4 и 20. Наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел равно 20.

$$ 20 \cdot \left( \frac{4x + 13}{10} - \frac{5 + 2x}{4} \right) > 20 \cdot \left( \frac{6 - 7x}{20} - 2 \right) $$

$$ \frac{20(4x + 13)}{10} - \frac{20(5 + 2x)}{4} > \frac{20(6 - 7x)}{20} - 20 \cdot 2 $$

Сокращаем дроби:

$$ 2(4x + 13) - 5(5 + 2x) > 1(6 - 7x) - 40 $$

Раскрываем скобки:

$$ 8x + 26 - 25 - 10x > 6 - 7x - 40 $$

Приводим подобные слагаемые в каждой части неравенства:

$$ -2x + 1 > -34 - 7x $$

Переносим слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки на противоположные:

$$ -2x + 7x > -34 - 1 $$

$$ 5x > -35 $$

Разделим обе части на 5 (знак неравенства не меняется, так как 5 > 0):

$$ x > -7 $$

Неравенству удовлетворяют все числа, которые строго больше -7. Нам нужно найти наименьшее целое решение. Первое целое число, которое больше -7, это -6.

Ответ: -6.

2) Исходное неравенство:

$$ (x - 1)(x + 1) - (x - 4)(x + 2) \ge 0 $$

Раскроем скобки. Первое произведение является формулой разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $. Второе произведение раскроем по правилу умножения многочленов.

$$ (x^2 - 1^2) - (x^2 + 2x - 4x - 8) \ge 0 $$

$$ (x^2 - 1) - (x^2 - 2x - 8) \ge 0 $$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки слагаемых внутри на противоположные, так как перед скобкой стоит знак минус:

$$ x^2 - 1 - x^2 + 2x + 8 \ge 0 $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ (x^2 - x^2) + 2x + (-1 + 8) \ge 0 $$

$$ 2x + 7 \ge 0 $$

Решим полученное линейное неравенство:

$$ 2x \ge -7 $$

$$ x \ge -\frac{7}{2} $$

$$ x \ge -3.5 $$

Неравенству удовлетворяют все числа, которые больше или равны -3.5. Нам нужно найти наименьшее целое решение. Первое целое число, которое больше или равно -3.5, это -3.

Ответ: -3.