Номер 144, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

144. Турист проплыл на лодке некоторое расстояние по течению реки, а потом вернулся обратно, потратив на всё путешествие не более пяти часов. Скорость лодки в стоячей воде равна $5 \text{ км/ч}$, а скорость течения – $1 \text{ км/ч}$. Какое наибольшее расстояние мог проплыть турист по течению реки?

Для решения задачи необходимо определить скорости движения лодки по течению и против течения, выразить через искомое расстояние время, затраченное на каждый участок пути, и составить неравенство, исходя из общего времени путешествия.

Пусть $S$ — это искомое наибольшее расстояние (в км), которое турист мог проплыть по течению реки.

1. Вычисление скоростей движения.
Скорость лодки в стоячей воде составляет $v_{л} = 5$ км/ч.
Скорость течения реки составляет $v_{т} = 1$ км/ч.
Скорость лодки по течению реки равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения:
$v_{по~теч.} = v_{л} + v_{т} = 5 + 1 = 6$ км/ч.
Скорость лодки против течения реки равна разности собственной скорости лодки и скорости течения:
$v_{против~теч.} = v_{л} - v_{т} = 5 - 1 = 4$ км/ч.

2. Выражение времени через расстояние.
Время, затраченное на путь по течению, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$:
$t_{по~теч.} = \frac{S}{6}$ ч.
Время, затраченное на обратный путь (против течения), на то же расстояние $S$:
$t_{против~теч.} = \frac{S}{4}$ ч.

3. Составление и решение неравенства.
Общее время путешествия $t_{общ}$ равно сумме времени движения по течению и против течения. По условию, оно не должно превышать 5 часов:
$t_{общ} = t_{по~теч.} + t_{против~теч.} \le 5$
Подставим выражения для времени:
$\frac{S}{6} + \frac{S}{4} \le 5$
Для решения неравенства приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 4 — это 12.
$\frac{2S}{12} + \frac{3S}{12} \le 5$
$\frac{5S}{12} \le 5$
Теперь выразим $S$. Умножим обе части неравенства на 12:
$5S \le 5 \cdot 12$
$5S \le 60$
Разделим обе части на 5:
$S \le \frac{60}{5}$
$S \le 12$

Неравенство $S \le 12$ показывает, что расстояние, которое мог проплыть турист по течению, не может быть больше 12 км. Следовательно, наибольшее такое расстояние равно 12 км.

Ответ: 12 км.