Номер 140, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

140. При каких значениях $x$ верно равенство:

1) $|x-5| = x-5$;

2) $|2x+14| = -2x-14?$

1)

Дано равенство: $|x - 5| = x - 5$.

По определению модуля (абсолютной величины), равенство $|a| = a$ выполняется в том и только в том случае, когда выражение, стоящее под знаком модуля, является неотрицательным, то есть $a \ge 0$.

В данном уравнении в качестве выражения $a$ выступает $x - 5$.

Следовательно, исходное равенство будет верным при выполнении условия:

$x - 5 \ge 0$

Чтобы решить это неравенство, перенесем 5 в правую часть, изменив знак:

$x \ge 5$

Это означает, что равенство верно для всех значений $x$, которые больше или равны 5.

Ответ: $x \ge 5$ (или в виде промежутка $x \in [5; +\infty)$).

2)

Дано равенство: $|2x + 14| = -2x - 14$.

Заметим, что правую часть равенства можно переписать, вынеся знак минус за скобки: $-2x - 14 = -(2x + 14)$.

Тогда исходное равенство принимает вид: $|2x + 14| = -(2x + 14)$.

По определению модуля, равенство $|a| = -a$ выполняется в том и только в том случае, когда выражение, стоящее под знаком модуля, является неположительным, то есть $a \le 0$.

В данном уравнении в качестве выражения $a$ выступает $2x + 14$.

Следовательно, исходное равенство будет верным при выполнении условия:

$2x + 14 \le 0$

Решим это линейное неравенство. Перенесем 14 в правую часть:

$2x \le -14$

Разделим обе части неравенства на 2 (так как 2 > 0, знак неравенства не меняется):

$x \le -7$

Это означает, что равенство верно для всех значений $x$, которые меньше или равны -7.

Ответ: $x \le -7$ (или в виде промежутка $x \in (-\infty; -7]$).