Номер 163, страница 39 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

163. Для каждого значения $a$ решите неравенство:

1) $ax > 0$;

2) $ax < 1$;

3) $ax \geq a$;

4) $2(x - a) < ax - 4$;

5) $(a - 2)x > a^2 - 4$;

6) $(a + 3)x \leq a^2 - 9$.

1) Решим неравенство $ax > 0$.

Решение этого линейного неравенства относительно $x$ зависит от знака параметра $a$. Рассмотрим три возможных случая.

1. Если $a > 0$, то при делении обеих частей неравенства на положительное число $a$ знак неравенства сохраняется:

$x > \frac{0}{a}$

$x > 0$

2. Если $a < 0$, то при делении обеих частей на отрицательное число $a$ знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{0}{a}$

$x < 0$

3. Если $a = 0$, неравенство принимает вид $0 \cdot x > 0$, или $0 > 0$. Это неверное числовое неравенство, следовательно, при $a=0$ решений нет.

Ответ: если $a > 0$, то $x \in (0; +\infty)$; если $a < 0$, то $x \in (-\infty; 0)$; если $a = 0$, то решений нет.

2) Решим неравенство $ax < 1$.

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим три случая для параметра $a$.

1. Если $a > 0$, делим на $a$, знак неравенства не меняется:

$x < \frac{1}{a}$

2. Если $a < 0$, делим на $a$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{1}{a}$

3. Если $a = 0$, неравенство принимает вид $0 \cdot x < 1$, или $0 < 1$. Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.

Ответ: если $a > 0$, то $x \in (-\infty; \frac{1}{a})$; если $a < 0$, то $x \in (\frac{1}{a}; +\infty)$; если $a = 0$, то $x \in (-\infty; +\infty)$.

3) Решим неравенство $ax \ge a$.

Рассмотрим три случая для параметра $a$.

1. Если $a > 0$, делим обе части на $a$, знак неравенства сохраняется:

$x \ge \frac{a}{a}$

$x \ge 1$

2. Если $a < 0$, делим обе части на $a$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{a}{a}$

$x \le 1$

3. Если $a = 0$, неравенство принимает вид $0 \cdot x \ge 0$, или $0 \ge 0$. Это верное числовое неравенство, выполняющееся при любом $x$.

Ответ: если $a > 0$, то $x \in [1; +\infty)$; если $a < 0$, то $x \in (-\infty; 1]$; если $a = 0$, то $x \in (-\infty; +\infty)$.

4) Решим неравенство $2(x - a) < ax - 4$.

Сначала преобразуем неравенство, собрав все члены с $x$ в одной части, а свободные члены — в другой.

$2x - 2a < ax - 4$

$2x - ax < 2a - 4$

$x(2 - a) < 2(a - 2)$

$x(2 - a) < -2(2 - a)$

Решение зависит от знака коэффициента при $x$, то есть от выражения $(2 - a)$.

1. Если $2 - a > 0$ (то есть $a < 2$), делим обе части на положительное число $(2 - a)$, знак неравенства сохраняется:

$x < -2$

2. Если $2 - a < 0$ (то есть $a > 2$), делим обе части на отрицательное число $(2 - a)$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x > -2$

3. Если $2 - a = 0$ (то есть $a = 2$), неравенство принимает вид $0 \cdot x < -2(0)$, или $0 < 0$. Это неверное неравенство, решений нет.

Ответ: если $a < 2$, то $x \in (-\infty; -2)$; если $a > 2$, то $x \in (-2; +\infty)$; если $a = 2$, то решений нет.

5) Решим неравенство $(a - 2)x > a^2 - 4$.

Разложим правую часть на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$.

Неравенство принимает вид: $(a - 2)x > (a - 2)(a + 2)$.

Решение зависит от знака коэффициента $(a - 2)$.

1. Если $a - 2 > 0$ (то есть $a > 2$), делим на положительное число $(a - 2)$, знак неравенства сохраняется:

$x > a + 2$

2. Если $a - 2 < 0$ (то есть $a < 2$), делим на отрицательное число $(a - 2)$, знак неравенства меняется:

$x < a + 2$

3. Если $a - 2 = 0$ (то есть $a = 2$), неравенство принимает вид $0 \cdot x > (2 - 2)(2 + 2)$, или $0 > 0$. Это неверно, решений нет.

Ответ: если $a > 2$, то $x \in (a+2; +\infty)$; если $a < 2$, то $x \in (-\infty; a+2)$; если $a = 2$, то решений нет.

6) Решим неравенство $(a + 3)x \le a^2 - 9$.

Разложим правую часть на множители: $a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$.

Неравенство принимает вид: $(a + 3)x \le (a - 3)(a + 3)$.

Решение зависит от знака коэффициента $(a + 3)$.

1. Если $a + 3 > 0$ (то есть $a > -3$), делим на положительное число $(a + 3)$, знак неравенства сохраняется:

$x \le a - 3$

2. Если $a + 3 < 0$ (то есть $a < -3$), делим на отрицательное число $(a + 3)$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge a - 3$

3. Если $a + 3 = 0$ (то есть $a = -3$), неравенство принимает вид $0 \cdot x \le (-3)^2 - 9$, или $0 \le 0$. Это верное неравенство, которое выполняется для любого $x$.

Ответ: если $a > -3$, то $x \in (-\infty; a-3]$; если $a < -3$, то $x \in [a-3; +\infty)$; если $a = -3$, то $x \in (-\infty; +\infty)$.