Номер 117, страница 35 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

117. Решите неравенство:

1) $6x > 18;$

2) $-2x \ge 10;$

3) $\frac{1}{3}x < 9;$

4) $0,1x \ge 0;$

5) $\frac{3}{4}x > 24;$

6) $-10x < 0;$

7) $2\frac{1}{4}x \le -1\frac{4}{5};$

8) $-7x > \frac{14}{15};$

9) $7x - 2 > 19;$

10) $5x + 16 \le 6;$

11) $4 - x < 5;$

12) $5 - 8x \ge 6;$

13) $12 + 4x \ge 6x;$

14) $36 - 2x < 4x;$

15) $\frac{x+2}{5} < 2.$

1) $6x > 18$
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 6. Так как 6 — положительное число, знак неравенства сохраняется.
$x > \frac{18}{6}$
$x > 3$
Ответ: $x \in (3; +\infty)$

2) $-2x \ge 10$
Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $\ge$ на $\le$).
$x \le \frac{10}{-2}$
$x \le -5$
Ответ: $x \in (-\infty; -5]$

3) $\frac{1}{3}x < 9$
Умножим обе части неравенства на 3, чтобы избавиться от дроби. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не меняется.
$x < 9 \cdot 3$
$x < 27$
Ответ: $x \in (-\infty; 27)$

4) $0,1x \ge 0$
Разделим обе части неравенства на 0,1. Так как 0,1 — положительное число, знак неравенства сохраняется.
$x \ge \frac{0}{0,1}$
$x \ge 0$
Ответ: $x \in [0; +\infty)$

5) $\frac{3}{4}x > 24$
Умножим обе части неравенства на число, обратное коэффициенту при $x$, то есть на $\frac{4}{3}$. Так как $\frac{4}{3}$ — положительное число, знак неравенства не меняется.
$x > 24 \cdot \frac{4}{3}$
$x > 8 \cdot 4$
$x > 32$
Ответ: $x \in (32; +\infty)$

6) $-10x < 0$
Разделим обе части неравенства на -10. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с < на $>$$).
$x > \frac{0}{-10}$
$x > 0$
Ответ: $x \in (0; +\infty)$

7) $2\frac{1}{4}x \le -1\frac{4}{5}$
Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$; $-1\frac{4}{5} = -\frac{9}{5}$
Неравенство принимает вид: $\frac{9}{4}x \le -\frac{9}{5}$
Умножим обе части на $\frac{4}{9}$ (положительное число), знак неравенства не изменится.
$x \le -\frac{9}{5} \cdot \frac{4}{9}$
$x \le -\frac{4}{5}$
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{4}{5}]$

8) $-7x > \frac{14}{15}$
Разделим обе части неравенства на -7. Знак неравенства изменится на противоположный (с $>$ на <):
$x < \frac{14}{15} \div (-7)$
$x < \frac{14}{15} \cdot (-\frac{1}{7})$
$x < -\frac{2}{15}$
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{15})$

9) $7x - 2 > 19$
Перенесем -2 в правую часть неравенства, изменив знак на противоположный.
$7x > 19 + 2$
$7x > 21$
Разделим обе части на 7 (положительное число).
$x > \frac{21}{7}$
$x > 3$
Ответ: $x \in (3; +\infty)$

10) $5x + 16 \le 6$
Перенесем 16 в правую часть неравенства, изменив знак на противоположный.
$5x \le 6 - 16$
$5x \le -10$
Разделим обе части на 5 (положительное число).
$x \le \frac{-10}{5}$
$x \le -2$
Ответ: $x \in (-\infty; -2]$

11) $4 - x < 5$
Перенесем 4 в правую часть неравенства.
$-x < 5 - 4$
$-x < 1$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный (с < на $>$$).
$x > -1$
Ответ: $x \in (-1; +\infty)$

12) $5 - 8x \ge 6$
Перенесем 5 в правую часть неравенства.
$-8x \ge 6 - 5$
$-8x \ge 1$
Разделим обе части на -8, изменив знак неравенства на противоположный (с $\ge$ на $\le$).
$x \le \frac{1}{-8}$
$x \le -\frac{1}{8}$
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{8}]$

13) $12 + 4x \ge 6x$
Соберем слагаемые с $x$ в одной части, а числа — в другой. Перенесем $4x$ вправо.
$12 \ge 6x - 4x$
$12 \ge 2x$
Разделим обе части на 2 (положительное число).
$6 \ge x$
Это эквивалентно записи $x \le 6$.
Ответ: $x \in (-\infty; 6]$

14) $36 - 2x < 4x$
Перенесем $-2x$ в правую часть неравенства.
$36 < 4x + 2x$
$36 < 6x$
Разделим обе части на 6 (положительное число).
$6 < x$
Это эквивалентно записи $x > 6$.
Ответ: $x \in (6; +\infty)$

15) $\frac{x+2}{5} < 2$
Умножим обе части неравенства на 5 (положительное число), чтобы избавиться от знаменателя.
$x + 2 < 2 \cdot 5$
$x + 2 < 10$
Перенесем 2 в правую часть.
$x < 10 - 2$
$x < 8$
Ответ: $x \in (-\infty; 8)$