Номер 118, страница 35 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

118. Решите неравенство:

1) $5x < 30;$

2) $-4x \leq -16;$

3) $\frac{2}{3}x \leq 6;$

4) $-12x \geq 0;$

5) $-3x < \frac{6}{7};$

6) $-2\frac{1}{3}x > 1\frac{5}{9};$

7) $4x + 5 > -7;$

8) $9 - x \geq 2x;$

9) $13 - 6x \geq -23;$

10) $5 - 9x > 16;$

11) $3x + 2 \leq -7x;$

12) $\frac{x - 3}{4} > -1.$

1) $5x < 30$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства сохраняется.

$x < \frac{30}{5}$

$x < 6$

Ответ: $x \in (-\infty; 6)$.

2) $-4x \le -16$

Разделим обе части неравенства на -4. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $\le$ на $\ge$).

$x \ge \frac{-16}{-4}$

$x \ge 4$

Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

3) $\frac{2}{3}x \le 6$

Умножим обе части неравенства на $\frac{3}{2}$ (число, обратное к $\frac{2}{3}$). Так как $\frac{3}{2}$ — положительное число, знак неравенства сохраняется.

$x \le 6 \cdot \frac{3}{2}$

$x \le 9$

Ответ: $x \in (-\infty; 9]$.

4) $-12x \ge 0$

Разделим обе части неравенства на -12. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $\ge$ на $\le$).

$x \le \frac{0}{-12}$

$x \le 0$

Ответ: $x \in (-\infty; 0]$.

5) $-3x < \frac{6}{7}$

Разделим обе части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с < на $> $).

$x > \frac{6/7}{-3}$

$x > -\frac{6}{7 \cdot 3}$

$x > -\frac{2}{7}$

Ответ: $x \in (-\frac{2}{7}; +\infty)$.

6) $-2\frac{1}{3}x > 1\frac{5}{9}$

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$-2\frac{1}{3} = -\frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{7}{3}$

$1\frac{5}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{14}{9}$

Неравенство принимает вид: $-\frac{7}{3}x > \frac{14}{9}$

Умножим обе части на $-\frac{3}{7}$ (число, обратное к $-\frac{7}{3}$). Так как мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

$x < \frac{14}{9} \cdot (-\frac{3}{7})$

$x < -\frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 7}$

$x < -\frac{2}{3}$

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{3})$.

7) $4x + 5 > -7$

Перенесем 5 в правую часть неравенства, изменив знак.

$4x > -7 - 5$

$4x > -12$

Разделим обе части на 4. Знак неравенства не меняется.

$x > \frac{-12}{4}$

$x > -3$

Ответ: $x \in (-3; +\infty)$.

8) $9 - x \ge 2x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую. Перенесем $-x$ вправо.

$9 \ge 2x + x$

$9 \ge 3x$

Разделим обе части на 3. Знак неравенства не меняется.

$3 \ge x$, что эквивалентно $x \le 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3]$.

9) $13 - 6x \ge -23$

Перенесем 13 в правую часть неравенства с противоположным знаком.

$-6x \ge -23 - 13$

$-6x \ge -36$

Разделим обе части на -6. Знак неравенства меняется на противоположный.

$x \le \frac{-36}{-6}$

$x \le 6$

Ответ: $x \in (-\infty; 6]$.

10) $5 - 9x > 16$

Перенесем 5 в правую часть неравенства.

$-9x > 16 - 5$

$-9x > 11$

Разделим обе части на -9. Знак неравенства меняется на противоположный.

$x < \frac{11}{-9}$

$x < -\frac{11}{9}$

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{11}{9})$.

11) $3x + 2 \le -7x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую.

$3x + 7x \le -2$

$10x \le -2$

Разделим обе части на 10.

$x \le \frac{-2}{10}$

$x \le -\frac{1}{5}$

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{5}]$.

12) $\frac{x-3}{4} > -1$

Умножим обе части неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знак неравенства не меняется.

$x - 3 > -1 \cdot 4$

$x - 3 > -4$

Перенесем -3 в правую часть с противоположным знаком.

$x > -4 + 3$

$x > -1$

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.