Номер 6, страница 51 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

6. Дано: $a > 0$, $b < 0$. Какое из данных неравенств может быть правильным?

А) $a^2 < b^2$

Б) $\frac{a}{b} > 1$

В) $a - b < 0$

Г) $a^2b^3 > 0$

По условию задачи дано, что $a$ — положительное число ($a > 0$), а $b$ — отрицательное число ($b < 0$). Проанализируем каждое из предложенных неравенств, чтобы определить, какое из них может быть верным.

А) $a^2 < b^2$

Рассмотрим неравенство $a^2 < b^2$. Так как $a$ и $b$ не равны нулю, их квадраты $a^2$ и $b^2$ всегда будут положительными числами. Верность этого неравенства зависит от абсолютных значений (модулей) чисел $a$ и $b$. Неравенство $a^2 < b^2$ равносильно неравенству $\sqrt{a^2} < \sqrt{b^2}$, что для любых чисел $a$ и $b$ эквивалентно $|a| < |b|$.

Мы можем подобрать такие значения $a$ и $b$, которые удовлетворяют условиям $a > 0$, $b < 0$ и $|a| < |b|$. Например, пусть $a = 2$ и $b = -3$. Проверим:

$|2| < |-3| \Rightarrow 2 < 3$. Это верно.

Подставим эти значения в исходное неравенство:

$2^2 < (-3)^2$

$4 < 9$

Неравенство выполняется. Следовательно, это неравенство может быть правильным.

Ответ: неравенство может быть правильным.

Б) $\frac{a}{b} > 1$

Рассмотрим дробь $\frac{a}{b}$. По условию, числитель $a$ — положительное число, а знаменатель $b$ — отрицательное число. При делении положительного числа на отрицательное результат всегда будет отрицательным. Таким образом, $\frac{a}{b} < 0$.

Неравенство $\frac{a}{b} > 1$ утверждает, что отрицательное число больше 1, что является ложным утверждением для любых $a$ и $b$, удовлетворяющих начальным условиям. Следовательно, это неравенство всегда неверно.

Ответ: неравенство не может быть правильным.

В) $a - b < 0$

Рассмотрим разность $a - b$. По условию $a > 0$. Так как $b < 0$, то число $-b$ будет положительным ($-b > 0$). Выражение $a - b$ можно представить в виде суммы двух положительных чисел: $a + (-b)$. Сумма двух положительных чисел всегда положительна. Таким образом, $a - b > 0$.

Неравенство $a - b < 0$ утверждает, что положительное число меньше нуля, что ложно. Следовательно, это неравенство всегда неверно.

Ответ: неравенство не может быть правильным.

Г) $a^2b^3 > 0$

Рассмотрим произведение $a^2b^3$. Разберем знаки множителей:

• Поскольку $a > 0$, то $a^2 > 0$ (квадрат положительного числа положителен).
• Поскольку $b < 0$, то $b^3 < 0$ (нечетная степень отрицательного числа отрицательна).

Произведение $a^2b^3$ является произведением положительного числа ($a^2$) и отрицательного числа ($b^3$). Результат такого произведения всегда отрицателен. Таким образом, $a^2b^3 < 0$.

Неравенство $a^2b^3 > 0$ утверждает, что отрицательное число больше нуля, что ложно. Следовательно, это неравенство всегда неверно.

Ответ: неравенство не может быть правильным.

Итак, проанализировав все варианты, мы установили, что неравенства Б, В и Г всегда являются ложными при заданных условиях. Только неравенство А может быть истинным при определенном выборе чисел $a$ и $b$. Таким образом, единственное неравенство, которое может быть правильным, — это А).