Страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

231. На рисунке 16 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-4; 5]$. Пользуясь графиком, найдите:

1) $f(-3,5)$; $f(-2,5)$; $f(-1)$; $f(2)$;

2) значения $x$, при которых: $f(x) = -2,5$; $f(x) = -2$; $f(x) = 0$; $f(x) = 2$;

3) область значений функции.

Рис. 16

1) Чтобы найти значение функции $y = f(x)$ при заданном значении аргумента $x$, необходимо найти на оси абсцисс (оси $Ox$) точку с этой координатой, провести из неё вертикальную линию до пересечения с графиком функции, а затем из точки пересечения провести горизонтальную линию до оси ординат (оси $Oy$). Ордината полученной точки и будет искомым значением функции.

• При $x = -3,5$ опускаемся от точки -3,5 на оси $Ox$ до графика и находим соответствующее значение на оси $Oy$. Оно равно -1. Значит, $f(-3,5) = -1$.
• При $x = -2,5$ поднимаемся от точки -2,5 на оси $Ox$ до графика. Соответствующее значение на оси $Oy$ равно 2. Значит, $f(-2,5) = 2$.
• При $x = -1$ точка графика находится на оси абсцисс, следовательно, её ордината равна 0. Значит, $f(-1) = 0$.
• При $x = 2$ опускаемся от точки 2 на оси $Ox$ до графика. Соответствующее значение на оси $Oy$ равно -1. Значит, $f(2) = -1$.

Ответ: $f(-3,5) = -1$; $f(-2,5) = 2$; $f(-1) = 0$; $f(2) = -1$.

2) Чтобы найти значения $x$, при которых $f(x)$ равно заданному числу, необходимо провести горизонтальную прямую на уровне этого значения по оси $Oy$. Абсциссы всех точек пересечения этой прямой с графиком функции и будут искомыми значениями $x$.

• $f(x) = -2,5$: проводим прямую $y = -2,5$. Она пересекает график в одной точке, абсцисса которой $x = 5$.
• $f(x) = -2$: проводим прямую $y = -2$. Она пересекает график в одной точке, абсцисса которой $x = 4$.
• $f(x) = 0$: это точки пересечения графика с осью абсцисс ($y=0$). Это происходит при $x = -3$, $x = -1$ и $x = 1,5$.
• $f(x) = 2$: проводим прямую $y = 2$. Она пересекает график в двух точках с абсциссами $x = -2,5$ и $x = 0$.

Ответ: при $f(x) = -2,5$, $x=5$; при $f(x) = -2$, $x=4$; при $f(x) = 0$, $x \in \{-3; -1; 1,5\}$; при $f(x) = 2$, $x \in \{-2,5; 0\}$.

3) Область значений функции – это множество всех значений, которые принимает функция $y$ на своей области определения. Чтобы найти область значений по графику, нужно определить наименьшее и наибольшее значение функции на заданном промежутке.

По графику видно, что:

• Наименьшее значение функции (самая низкая точка графика) достигается на правом конце промежутка, в точке с координатой $x = 5$. В этой точке $y = -2,5$. Таким образом, $y_{min} = -2,5$.
• Наибольшее значение функции (самая высокая точка графика) достигается в точке локального максимума при $x \approx -2$. Значение функции в этой точке примерно равно $3,2$. Таким образом, $y_{max} \approx 3,2$.

Функция принимает все значения между наименьшим и наибольшим. Следовательно, область значений функции $E(f)$ – это отрезок от -2,5 до 3,2.

Ответ: $E(f) = [-2,5; 3,2]$.

232. На рисунке 17 изображён график функции $y = g (x)$, определённой на промежутке $[-4; 4]$. Пользуясь графиком, найдите:

1) $f (-4)$; $f (-1)$; $f (1)$; $f (2,5)$;

2) значения $x$, при которых: $f (x) = -1$; $f (x) = 0$; $f (x) = 2$;

3) область значений функции.

Рис. 17

1) Для того чтобы найти значение функции в точке по её графику, необходимо найти на оси абсцисс (ось $x$) заданное значение аргумента, затем найти точку на графике с этой абсциссой и определить её ординату (значение по оси $y$).

• Найдём $f(-4)$. На оси $x$ находим значение $-4$. Соответствующая точка на графике имеет ординату $0.5$. Значит, $f(-4) = 0.5$.

• Найдём $f(-1)$. На оси $x$ находим значение $-1$. Соответствующая точка на графике имеет ординату $2$. Значит, $f(-1) = 2$.

• Найдём $f(1)$. На оси $x$ находим значение $1$. Соответствующая точка на графике имеет ординату $2$. Значит, $f(1) = 2$.

• Найдём $f(2.5)$. На оси $x$ находим значение $2.5$. Соответствующая точка на графике имеет ординату $-0.5$. Значит, $f(2.5) = -0.5$.

Ответ: $f(-4) = 0.5$; $f(-1) = 2$; $f(1) = 2$; $f(2.5) = -0.5$.

2) Для того чтобы найти значения $x$, при которых функция принимает заданное значение $y$, необходимо провести горизонтальную прямую на уровне этого значения $y$ и найти абсциссы всех точек пересечения этой прямой с графиком функции.

• Найдём $x$, при которых $f(x) = -1$. Проводим прямую $y = -1$. Эта прямая пересекает график в точках с абсциссами $x = -2$ и $x = 2$.

• Найдём $x$, при которых $f(x) = 0$. Это точки пересечения графика с осью абсцисс. График пересекает ось $x$ в точках с абсциссами $x = -3$, $x = -1.5$, $x = 1.5$ и $x = 3$.

• Найдём $x$, при которых $f(x) = 2$. Проводим прямую $y = 2$. Эта прямая пересекает график в точках с абсциссами $x = -1$ и $x = 1$.

Ответ: при $f(x) = -1$, $x \in \{-2, 2\}$; при $f(x) = 0$, $x \in \{-3, -1.5, 1.5, 3\}$; при $f(x) = 2$, $x \in \{-1, 1\}$.

3) Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает функция (переменная $y$) на своей области определения. Чтобы найти её по графику, нужно определить наименьшее и наибольшее значение, которое достигает функция.

По графику видно, что самая низкая точка имеет ординату $y = -1$, а самая высокая точка имеет ординату $y = 3$.

Так как функция непрерывна на промежутке $[-4, 4]$, она принимает все значения между своим наименьшим и наибольшим значением.

Следовательно, область значений функции — это отрезок от $-1$ до $3$.

Ответ: $E(f) = [-1; 3]$.