Страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

240. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} 6, & \text{если } x \le -3 \\ x^2, & \text{если } -3 < x < 1 \\ x, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Для построения графика кусочно-заданной функции $f(x) = \begin{cases} 6, & \text{если } x \le -3 \\ x^2, & \text{если } -3 < x < 1 \\ x, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$ необходимо построить график каждой из трех функций на указанном для нее промежутке. Рассмотрим каждый участок отдельно.

1. Построение на промежутке $x \le -3$

На этом промежутке функция задается как $f(x) = 6$. Это постоянная функция, ее график — горизонтальная прямая $y=6$. Так как неравенство $x \le -3$ нестрогое, точка $x = -3$ включается в этот промежуток. Следовательно, точка на графике с координатами $(-3; 6)$ будет закрашенной. Графиком является луч, выходящий из точки $(-3; 6)$ и идущий влево параллельно оси абсцисс.

2. Построение на промежутке $-3 < x < 1$

На этом интервале функция задается формулой $f(x) = x^2$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с вершиной в начале координат $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх. Поскольку интервал $(-3; 1)$ строгий, граничные точки в него не входят. Найдем значения функции на границах интервала:
При $x = -3$, $y = (-3)^2 = 9$. Точка $(-3; 9)$ будет выколотой (незакрашенной).
При $x = 1$, $y = 1^2 = 1$. Точка $(1; 1)$ также будет выколотой.
Таким образом, на данном участке график представляет собой дугу параболы $y=x^2$, соединяющую выколотые точки $(-3; 9)$ и $(1; 1)$ и проходящую через вершину $(0; 0)$.

3. Построение на промежутке $x \ge 1$

На этом промежутке функция задается как $f(x) = x$. Это линейная функция, ее график — прямая, являющаяся биссектрисой первого координатного угла. Так как неравенство $x \ge 1$ нестрогое, точка $x=1$ включается в промежуток. Значение функции в этой точке $f(1) = 1$. Следовательно, точка $(1; 1)$ на графике будет закрашенной. Эта закрашенная точка "заполняет" выколотую точку с теми же координатами из предыдущего интервала, делая функцию непрерывной в точке $x=1$. Графиком является луч, выходящий из точки $(1; 1)$ и идущий вверх и вправо.

Итоговый график

Совместив все три части на одной координатной плоскости, мы получим итоговый график функции. Функция имеет разрыв первого рода в точке $x=-3$ и является непрерывной во всех остальных точках своей области определения.

Ответ:

График функции $f(x)$ изображен на рисунке ниже.

241. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} -\frac{4}{x}, & \text{если } x < -2, \\ -x, & \text{если } -2 \le x \le 0, \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

Для построения графика заданной кусочной функции необходимо рассмотреть каждый из трех интервалов отдельно.

1. Построение графика на интервале $x < -2$

На этом интервале функция задается формулой $f(x) = -\frac{4}{x}$. Графиком этой функции является гипербола, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Поскольку нас интересует промежуток $x < -2$, мы строим часть ветви, находящуюся во второй четверти.

Определим ключевые точки:

• На границе интервала, в точке $x = -2$, значение функции будет $y = -\frac{4}{-2} = 2$. Так как неравенство строгое ($x < -2$), эта точка $(-2; 2)$ будет выколотой (незакрашенной) на графике.
• Вычислим значения в нескольких других точках для точности построения:
  Если $x = -4$, то $y = -\frac{4}{-4} = 1$.
  Если $x = -8$, то $y = -\frac{4}{-8} = 0.5$.

Эта часть графика представляет собой кривую, которая начинается в точке $(-2; 2)$ и уходит влево, асимптотически приближаясь к оси абсцисс ($y=0$).

2. Построение графика на отрезке $-2 \le x \le 0$

На этом отрезке функция задается формулой $f(x) = -x$. Ее график — это прямая линия. Нам нужно построить ее часть, заключенную между $x = -2$ и $x = 0$. Это будет отрезок прямой.

Найдем координаты концов этого отрезка:

• При $x = -2$, $y = -(-2) = 2$. Получаем точку $(-2; 2)$. Так как неравенство нестрогое, точка закрашенная. Она совпадает с выколотой точкой из предыдущего интервала и, таким образом, "заполняет" ее.
• При $x = 0$, $y = -0 = 0$. Получаем точку $(0; 0)$. Эта точка также закрашенная.

Итак, на данном промежутке график — это отрезок, соединяющий точки $(-2; 2)$ и $(0; 0)$.

3. Построение графика на интервале $x > 0$

На этом интервале функция задается формулой $f(x) = \sqrt{x}$. График этой функции — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox.

Определим ключевые точки:

• На границе интервала, в точке $x=0$, значение функции $y = \sqrt{0} = 0$. Так как неравенство строгое ($x > 0$), точка $(0; 0)$ будет выколотой. Она совпадает с концом отрезка из предыдущего шага, поэтому график в этой точке остается непрерывным.
• Вычислим значения в нескольких других точках:
  Если $x = 1$, то $y = \sqrt{1} = 1$.
  Если $x = 4$, то $y = \sqrt{4} = 2$.
  Если $x = 9$, то $y = \sqrt{9} = 3$.

Эта часть графика начинается в точке $(0; 0)$ и уходит вправо и вверх.

Итоговый график

Объединяя все три части на одной координатной плоскости, получаем единый непрерывный график. Он состоит из ветви гиперболы для $x < -2$, отрезка прямой для $-2 \le x \le 0$ и ветви параболы для $x > 0$.

Ответ: Построен график кусочно-заданной функции.
График состоит из трех частей:
1) для $x < -2$ — это часть гиперболы $y = -4/x$, расположенная во второй четверти, с выколотой начальной точкой $(-2; 2)$;
2) для $-2 \le x \le 0$ — это отрезок прямой $y = -x$, соединяющий точки $(-2; 2)$ и $(0; 0)$;
3) для $x > 0$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, ветвь параболы, выходящая из точки $(0; 0)$.
В точках "стыковки" $x=-2$ и $x=0$ функция непрерывна, поэтому график представляет собой сплошную линию.

242. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \sqrt{x - 2} + \frac{x + 2}{x - 5};$

2) $f(x) = \frac{x}{|x| - 7};$

3) $f(x) = \sqrt{x + 3} + \frac{1}{x^2 - 9};$

4) $f(x) = \frac{\sqrt{x - 4}}{\sqrt{x + 2}} + \frac{4x - 3}{x^2 - 7x + 6}.$;

1) Область определения функции $f(x) = \sqrt{x-2} + \frac{x+2}{x-5}$ находится из системы двух условий. Первое: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. Второе: знаменатель дроби не должен быть равен нулю, $x-5 \ne 0$, откуда $x \ne 5$. Решением системы $\begin{cases} x \ge 2 \\ x \ne 5 \end{cases}$ является множество всех чисел, больших или равных 2, за исключением 5. В виде интервалов это записывается как $[2; 5) \cup (5; +\infty)$.
Ответ: $D(f) = [2; 5) \cup (5; +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = \frac{x}{|x|-7}$ область определения находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $|x|-7 \ne 0$. Это неравенство равносильно условию $|x| \ne 7$, что означает $x \ne 7$ и $x \ne -7$. Таким образом, область определения функции — это вся числовая прямая, за исключением точек -7 и 7. В виде интервалов это $(-\infty; -7) \cup (-7; 7) \cup (7; +\infty)$.
Ответ: $D(f) = (-\infty; -7) \cup (-7; 7) \cup (7; +\infty)$.

3) Для функции $f(x) = \sqrt{x+3} + \frac{1}{x^2-9}$ должны выполняться два условия. Во-первых, подкоренное выражение неотрицательно: $x+3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$. Во-вторых, знаменатель дроби не равен нулю: $x^2-9 \ne 0$. Разложив знаменатель на множители, получаем $(x-3)(x+3) \ne 0$, откуда $x \ne 3$ и $x \ne -3$. Совместим условия: из $x \ge -3$ и $x \ne -3$ следует $x > -3$. Также необходимо исключить $x=3$. Итоговая область определения — это объединение интервалов $(-3; 3) \cup (3; +\infty)$.
Ответ: $D(f) = (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

4) Область определения функции $f(x) = \frac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{x+2}} + \frac{4x-3}{x^2-7x+6}$ определяется системой ограничений. Для первого слагаемого необходимо, чтобы выражение под корнем в числителе было неотрицательным ($x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$) и выражение под корнем в знаменателе было строго положительным ($x+2 > 0 \implies x > -2$). Для второго слагаемого знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2-7x+6 \ne 0$. Корнями уравнения $x^2-7x+6=0$ являются $x=1$ и $x=6$, поэтому $x \ne 1$ и $x \ne 6$. Объединим все условия: $\begin{cases} x \ge 4 \\ x > -2 \\ x \ne 1 \\ x \ne 6 \end{cases}$. Пересечение $x \ge 4$ и $x > -2$ дает $x \ge 4$. Условие $x \ne 1$ для этого промежутка выполняется автоматически. Остается лишь исключить $x=6$. Таким образом, получаем $[4; 6) \cup (6; +\infty)$.
Ответ: $D(f) = [4; 6) \cup (6; +\infty)$.

243. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \sqrt{x+4} + \frac{2}{x+1};$

2) $f(x) = \sqrt{8-x} + \frac{4}{x^2 - 8x}.$

1) $f(x) = \sqrt{x+4} + \frac{2}{x+1}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция определена, если выполняются два условия одновременно:

1. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным, так как извлекать квадратный корень можно только из неотрицательных чисел.
$x+4 \ge 0$

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.
$x+1 \ne 0$

Для нахождения области определения решим систему этих условий:

$\begin{cases} x+4 \ge 0 \\ x+1 \ne 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем:
$x \ge -4$

Из второго условия получаем:
$x \ne -1$

Объединяя эти два условия, мы получаем все числа, которые больше или равны -4, за исключением числа -1. На числовой прямой это выглядит как луч, начинающийся в точке -4 (включая ее), с "выколотой" точкой -1.

В виде интервала это записывается следующим образом: $[-4, -1) \cup (-1, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = [-4, -1) \cup (-1, +\infty)$.

2) $f(x) = \sqrt{8-x} + \frac{4}{x^2 - 8x}$

Область определения этой функции также находится из двух условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$8-x \ge 0$

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю.
$x^2 - 8x \ne 0$

Составим и решим систему:

$\begin{cases} 8-x \ge 0 \\ x^2 - 8x \ne 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:
$8-x \ge 0$
$-x \ge -8$
$x \le 8$

Решим второе условие (найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю, и исключим их):
$x^2 - 8x = 0$
$x(x-8) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$.
Следовательно, $x \ne 0$ и $x \ne 8$.

Теперь необходимо объединить все полученные условия: $x \le 8$, $x \ne 0$ и $x \ne 8$.
Совмещение условий $x \le 8$ и $x \ne 8$ дает нам строгое неравенство $x < 8$. Добавляя к этому условие $x \ne 0$, получаем, что $x$ может быть любым числом, меньшим 8, кроме 0.

Запишем это в виде объединения интервалов: $(-\infty, 0) \cup (0, 8)$.

Ответ: $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, 8)$.

244. Найдите область значений функции:

1) $f(x) = \sqrt{x - 1};$

2) $f(x) = 5 - x^2;$

3) $f(x) = -7;$

4) $f(x) = |x| + 2;$

5) $f(x) = \sqrt{-x^2};$

6) $f(x) = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x}.$

1) Для функции $f(x) = \sqrt{x-1}$. Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $f(x)$. Сначала найдем область определения. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $x - 1 \ge 0$, откуда следует $x \ge 1$. Арифметический квадратный корень по определению принимает только неотрицательные значения, поэтому $f(x) = \sqrt{x-1} \ge 0$ для всех $x$ из области определения. Наименьшее значение функция принимает при наименьшем возможном значении $x$, то есть при $x=1$: $f(1) = \sqrt{1-1} = \sqrt{0} = 0$. При увеличении $x$, значение $x-1$ растет, и, следовательно, $\sqrt{x-1}$ также растет. Функция является возрастающей и не ограничена сверху. Таким образом, область значений функции — это все числа от 0 включительно до $+\infty$.
Ответ: $[0, +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = 5 - x^2$. Рассмотрим выражение $x^2$. Для любого действительного числа $x$, его квадрат $x^2$ является неотрицательным: $x^2 \ge 0$. Умножив неравенство на -1, получаем: $-x^2 \le 0$. Теперь прибавим 5 к обеим частям неравенства: $5 - x^2 \le 5$. Это означает, что $f(x) \le 5$ для любого $x$. Наибольшее значение, равное 5, функция достигает при $x=0$. Так как $x^2$ может принимать любое неотрицательное значение, выражение $5-x^2$ может принимать любое значение, меньшее или равное 5. Таким образом, область значений функции — это все числа от $-\infty$ до 5 включительно.
Ответ: $(-\infty, 5]$.

3) Для функции $f(x) = -7$. Эта функция является постоянной (константой). Для любого значения аргумента $x$ из области определения (которая является множеством всех действительных чисел), значение функции всегда равно -7. Следовательно, область значений функции состоит из одного единственного числа.
Ответ: $\{-7\}$.

4) Для функции $f(x) = |x| + 2$. Значение модуля любого действительного числа $x$ является неотрицательным: $|x| \ge 0$. Прибавим 2 к обеим частям этого неравенства: $|x| + 2 \ge 2$. Это означает, что $f(x) \ge 2$ для любого $x$. Наименьшее значение, равное 2, функция достигает при $x=0$. При неограниченном увеличении $|x|$, значение функции также неограниченно возрастает. Таким образом, область значений функции — это все числа от 2 включительно до $+\infty$.
Ответ: $[2, +\infty)$.

5) Для функции $f(x) = \sqrt{-x^2}$. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $-x^2 \ge 0$, что равносильно $x^2 \le 0$. Поскольку квадрат любого действительного числа $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$), единственным решением неравенства $x^2 \le 0$ является $x^2=0$, что означает $x=0$. Итак, область определения функции состоит из одной точки $x=0$. Найдем значение функции в этой единственной точке: $f(0) = \sqrt{-0^2} = \sqrt{0} = 0$. Следовательно, область значений функции состоит из одного числа 0.
Ответ: $\{0\}$.

6) Для функции $f(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt{2-x}$. Найдем область определения. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств: $\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 2 - x \ge 0 \end{cases}$ Решая систему, получаем: $\begin{cases} x \ge 2 \\ x \le 2 \end{cases}$ Единственное число, которое удовлетворяет обоим неравенствам, — это $x=2$. Таким образом, область определения функции состоит из одной точки $x=2$. Вычислим значение функции в этой точке: $f(2) = \sqrt{2-2} + \sqrt{2-2} = \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0 + 0 = 0$. Так как функция определена только в одной точке, ее область значений состоит из одного числа.
Ответ: $\{0\}$.

245. Найдите область значений функции:

1) $f(x) = x^2 + 3;$

2) $f(x) = 6 - \sqrt{x};$

3) $f(x) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}.$

1) Для функции $f(x) = x^2 + 3$.
Выражение $x^2$ принимает любые неотрицательные значения для любого действительного $x$, то есть $x^2 \ge 0$. Наименьшее значение выражения $x^2$ равно 0 и достигается при $x=0$. Чтобы найти область значений функции $f(x)$, мы прибавляем 3 к значениям $x^2$. Следовательно, $x^2 + 3 \ge 0 + 3$, что означает $f(x) \ge 3$. Поскольку $x^2$ может быть сколь угодно большим, то и $f(x)$ может принимать сколь угодно большие значения. Таким образом, область значений функции — это все числа, начиная с 3 и до бесконечности.
Ответ: $E(f) = [3, +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = 6 - \sqrt{x}$.
Сначала определим область определения функции. Квадратный корень $\sqrt{x}$ определен только для неотрицательных чисел, поэтому $x \ge 0$. Значения арифметического квадратного корня $\sqrt{x}$ также неотрицательны, то есть $\sqrt{x} \ge 0$. Умножим это неравенство на -1, что приведет к изменению знака неравенства на противоположный: $-\sqrt{x} \le 0$. Теперь прибавим 6 к обеим частям неравенства: $6 - \sqrt{x} \le 6$. Это означает, что $f(x) \le 6$. Наибольшее значение, равное 6, функция достигает при $x=0$. При увеличении $x$ значение $\sqrt{x}$ неограниченно возрастает, а значение $6 - \sqrt{x}$ неограниченно убывает (стремится к $-\infty$). Следовательно, область значений функции — это все числа, меньшие или равные 6.
Ответ: $E(f) = (-\infty, 6]$.

3) Для функции $f(x) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$.
Найдем область определения функции. Выражение $\sqrt{x}$ определено при $x \ge 0$. Так как в функции два таких множителя, область определения остается $x \ge 0$, или $D(f) = [0, +\infty)$. На этой области определения мы можем упростить функцию: $f(x) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 = x$. Таким образом, нам нужно найти область значений функции $f(x) = x$ при условии, что её аргумент $x$ принадлежит промежутку $[0, +\infty)$. Поскольку значения функции $f(x)$ равны её аргументу $x$, а $x$ может быть любым неотрицательным числом, то и значения функции могут быть любыми неотрицательными числами.
Ответ: $E(f) = [0, +\infty)$.

246. Задайте формулой какую-нибудь функцию, областью определения которой является:

1) множество действительных чисел, кроме чисел 1 и 2;

2) множество действительных чисел, которые не меньше 5;

3) множество действительных чисел, которые не больше 10, кроме числа -1;

4) множество, состоящее из одного числа -4.

1) множество действительных чисел, кроме чисел 1 и 2;

Чтобы исключить из области определения функции некоторые числа, можно использовать рациональную функцию (дробь), знаменатель которой обращается в ноль в этих точках. Функция не определена там, где знаменатель равен нулю.
Нам нужно, чтобы функция была не определена в точках $x=1$ и $x=2$. Следовательно, знаменатель должен быть равен нулю при $x=1$ и $x=2$.
Можно составить многочлен, корнями которого являются числа 1 и 2. Таким многочленом является произведение $(x-1)(x-2)$.
Поместим это выражение в знаменатель. В качестве числителя можно взять любое число, не равное нулю, или любое выражение, которое не обращается в ноль при $x=1$ и $x=2$. Самый простой вариант — константа, например, 1.
Таким образом, функция $y = \frac{1}{(x-1)(x-2)}$ имеет требуемую область определения.
Знаменатель $(x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$ равен нулю только при $x=1$ и $x=2$. Следовательно, область определения этой функции — это все действительные числа, кроме 1 и 2.

Ответ: $y = \frac{1}{(x-1)(x-2)}$

2) множество действительных чисел, которые не меньше 5;

Условие "не меньше 5" означает $x \ge 5$.
Такое ограничение часто достигается с помощью функции квадратного корня, поскольку выражение под знаком корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным.
Нам нужно найти такое выражение $f(x)$, чтобы неравенство $f(x) \ge 0$ было равносильно неравенству $x \ge 5$.
Выражение $x-5$ удовлетворяет этому условию: неравенство $x-5 \ge 0$ эквивалентно $x \ge 5$.
Следовательно, функция $y = \sqrt{x-5}$ имеет область определения $x \ge 5$, что и требовалось в задаче.

Ответ: $y = \sqrt{x-5}$

3) множество действительных чисел, которые не больше 10, кроме числа -1;

Условие "не больше 10" означает $x \le 10$. Дополнительно нужно исключить из этого множества число -1.
Для задания условия $x \le 10$ снова воспользуемся квадратным корнем. Нам нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Неравенство $10-x \ge 0$ равносильно $x \le 10$. Таким образом, часть условия выполняется функцией $\sqrt{10-x}$.
Чтобы исключить точку $x = -1$, нужно сделать так, чтобы при этом значении $x$ функция была не определена. Это можно сделать, введя знаменатель, который обращается в ноль при $x = -1$. Таким знаменателем является выражение $x-(-1)$, то есть $x+1$.
Объединим оба эти условия в одной функции:
$y = \frac{\sqrt{10-x}}{x+1}$
Область определения этой функции находится из системы двух условий:
1. Подкоренное выражение неотрицательно: $10-x \ge 0 \implies x \le 10$.
2. Знаменатель не равен нулю: $x+1 \ne 0 \implies x \ne -1$.
Объединяя эти условия, получаем, что область определения функции — все действительные числа, которые не больше 10, кроме числа -1.

Ответ: $y = \frac{\sqrt{10-x}}{x+1}$

4) множество, состоящее из одного числа -4.

Требуется задать функцию, которая определена только в одной точке $x = -4$.
Этого можно достичь, используя квадратный корень, подкоренное выражение которого неотрицательно (то есть больше или равно нулю) только в одной-единственной точке.
Рассмотрим выражение $-(x+4)^2$. Квадрат любого действительного числа $(x+4)^2$ всегда неотрицателен: $(x+4)^2 \ge 0$.
Соответственно, выражение $-(x+4)^2$ всегда неположительно: $-(x+4)^2 \le 0$.
Единственный случай, когда это выражение удовлетворяет условию неотрицательности (необходимому для извлечения квадратного корня), это когда оно равно нулю.
$-(x+4)^2 = 0$
$x+4 = 0$
$x = -4$
Таким образом, функция $y = \sqrt{-(x+4)^2}$ определена только при $x=-4$ (и при этом значении $x$ она равна 0).
Альтернативный вариант: функция $y = \sqrt{x+4} + \sqrt{-4-x}$. Первое слагаемое определено при $x \ge -4$, а второе — при $x \le -4$. Оба слагаемых одновременно определены только при $x=-4$.

Ответ: $y = \sqrt{-(x+4)^2}$

247. Найдите область определения функции и постройте её график:

1) $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x + 4}$;

2) $f(x) = \frac{12x - 72}{x^2 - 6x}$;

3) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 9}$.

1) $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x + 4}$

Область определения:

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x + 4 \neq 0$.

Решая это неравенство, получаем $x \neq -4$.

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме -4. В виде интервалов: $D(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

Упрощение и построение графика:

Упростим выражение для функции. Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$.

Тогда функция принимает вид:

$f(x) = \frac{(x-4)(x+4)}{x+4}$.

При условии, что $x \neq -4$, мы можем сократить дробь на $(x+4)$:

$f(x) = x - 4$.

Графиком функции $y = x - 4$ является прямая линия. Однако, поскольку исходная функция не определена в точке $x = -4$, на графике этой прямой будет "выколотая" точка.

Найдем координаты этой точки. Абсцисса $x = -4$. Ординату найдем, подставив это значение в упрощенное выражение: $y = -4 - 4 = -8$.

Следовательно, график функции $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x + 4}$ — это прямая $y = x - 4$ с выколотой точкой $(-4; -8)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$. График — прямая $y = x - 4$ с выколотой точкой $(-4; -8)$.

2) $f(x) = \frac{12x - 72}{x^2 - 6x}$

Область определения:

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - 6x \neq 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 6) \neq 0$.

Произведение не равно нулю, если каждый из множителей не равен нулю: $x \neq 0$ и $x - 6 \neq 0$, то есть $x \neq 6$.

Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 6) \cup (6; +\infty)$.

Упрощение и построение графика:

Разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: $12x - 72 = 12(x - 6)$.

Знаменатель: $x^2 - 6x = x(x - 6)$.

Функция принимает вид: $f(x) = \frac{12(x-6)}{x(x-6)}$.

При условии, что $x \neq 6$ (и $x \neq 0$), можем сократить дробь на $(x-6)$:

$f(x) = \frac{12}{x}$.

Графиком функции $y = \frac{12}{x}$ является гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$. Точка $x=0$ уже исключена из области определения и является вертикальной асимптотой.

Точка $x=6$ также исключена из области определения, поэтому на графике гиперболы будет выколотая точка.

Найдем координаты этой точки: абсцисса $x = 6$. Подставим в упрощенную функцию, чтобы найти ординату: $y = \frac{12}{6} = 2$.

Таким образом, график функции $f(x) = \frac{12x - 72}{x^2 - 6x}$ — это гипербола $y = \frac{12}{x}$ с выколотой точкой $(6; 2)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; 6) \cup (6; +\infty)$. График — гипербола $y = \frac{12}{x}$ с выколотой точкой $(6; 2)$.

3) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 9}$

Область определения:

Знаменатель не может быть равен нулю: $x^2 - 9 \neq 0$.

Решаем уравнение $x^2 = 9$, получаем $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Область определения: $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

Упрощение и построение графика:

В области определения функции числитель и знаменатель равны и не равны нулю. Поэтому дробь можно сократить:

$f(x) = 1$ при $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Графиком функции $y = 1$ является горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0; 1)$ и параллельная оси Ox.

Так как исходная функция не определена в точках $x = -3$ и $x = 3$, на этой прямой будут две выколотые точки.

Ордината обеих точек равна 1. Координаты выколотых точек: $(-3; 1)$ и $(3; 1)$.

Следовательно, график функции $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 9}$ — это прямая $y = 1$ с выколотыми точками $(-3; 1)$ и $(3; 1)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$. График — прямая $y = 1$ с выколотыми точками $(-3; 1)$ и $(3; 1)$.

248. Найдите область определения функции и постройте её график:

1) $f(x) = \frac{x^2 + 4x + 4}{x + 2}$;

2) $f(x) = \frac{x^3}{x}$.

1) $f(x) = \frac{x^2 + 4x + 4}{x + 2}$

Сначала найдем область определения функции. Функция представляет собой дробь, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю.
$x + 2 \ne 0$
$x \ne -2$
Следовательно, область определения функции $D(f)$ — это все действительные числа, кроме $-2$. В виде интервала это записывается как $(-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Теперь упростим выражение для функции. Заметим, что числитель дроби является полным квадратом суммы:
$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$
Тогда функцию можно переписать в виде:
$f(x) = \frac{(x+2)^2}{x+2}$
При условии, что $x \ne -2$ (согласно области определения), мы можем сократить дробь на $(x+2)$:
$f(x) = x + 2$

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком линейной функции $y = x + 2$ во всех точках, за исключением точки, где $x = -2$.
Графиком функции $y = x + 2$ является прямая линия. Для ее построения найдем координаты двух точек:
Если $x = 0$, то $y = 0 + 2 = 2$. Точка $(0; 2)$.
Если $x = -1$, то $y = -1 + 2 = 1$. Точка $(-1; 1)$.

Так как исходная функция не определена в точке $x = -2$, на графике эта точка должна быть исключена ("выколота"). Найдем ординату этой точки, подставив $x = -2$ в упрощенное выражение:
$y = -2 + 2 = 0$.
Следовательно, точка $(-2; 0)$ не принадлежит графику функции. На графике она изображается в виде пустого кружка.
Итак, график функции — это прямая $y = x + 2$ с выколотой точкой $(-2; 0)$.

Ответ: Область определения функции: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$. Графиком является прямая $y = x + 2$ с выколотой точкой $(-2; 0)$.

2) $f(x) = \frac{x^3}{x}$

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю.
$x \ne 0$
Область определения функции $D(f)$ — это все действительные числа, кроме $0$. В виде интервала: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Упростим выражение для функции. При условии, что $x \ne 0$, мы можем сократить дробь на $x$:
$f(x) = \frac{x^3}{x} = x^2$

График исходной функции совпадает с графиком квадратичной функции $y = x^2$ во всех точках, кроме точки, где $x = 0$.
Графиком функции $y = x^2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат $(0; 0)$.

Поскольку исходная функция не определена в точке $x = 0$, на графике эта точка будет "выколота". Найдем координаты этой точки:
При $x = 0$, $y = 0^2 = 0$.
Следовательно, точка $(0; 0)$ (вершина параболы) не принадлежит графику функции.
График функции — это парабола $y = x^2$ с выколотой точкой в вершине $(0; 0)$.

Ответ: Область определения функции: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Графиком является парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(0; 0)$.