Номер 246, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

246. Задайте формулой какую-нибудь функцию, областью определения которой является:

1) множество действительных чисел, кроме чисел 1 и 2;

2) множество действительных чисел, которые не меньше 5;

3) множество действительных чисел, которые не больше 10, кроме числа -1;

4) множество, состоящее из одного числа -4.

1) множество действительных чисел, кроме чисел 1 и 2;

Чтобы исключить из области определения функции некоторые числа, можно использовать рациональную функцию (дробь), знаменатель которой обращается в ноль в этих точках. Функция не определена там, где знаменатель равен нулю.
Нам нужно, чтобы функция была не определена в точках $x=1$ и $x=2$. Следовательно, знаменатель должен быть равен нулю при $x=1$ и $x=2$.
Можно составить многочлен, корнями которого являются числа 1 и 2. Таким многочленом является произведение $(x-1)(x-2)$.
Поместим это выражение в знаменатель. В качестве числителя можно взять любое число, не равное нулю, или любое выражение, которое не обращается в ноль при $x=1$ и $x=2$. Самый простой вариант — константа, например, 1.
Таким образом, функция $y = \frac{1}{(x-1)(x-2)}$ имеет требуемую область определения.
Знаменатель $(x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$ равен нулю только при $x=1$ и $x=2$. Следовательно, область определения этой функции — это все действительные числа, кроме 1 и 2.

Ответ: $y = \frac{1}{(x-1)(x-2)}$

2) множество действительных чисел, которые не меньше 5;

Условие "не меньше 5" означает $x \ge 5$.
Такое ограничение часто достигается с помощью функции квадратного корня, поскольку выражение под знаком корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным.
Нам нужно найти такое выражение $f(x)$, чтобы неравенство $f(x) \ge 0$ было равносильно неравенству $x \ge 5$.
Выражение $x-5$ удовлетворяет этому условию: неравенство $x-5 \ge 0$ эквивалентно $x \ge 5$.
Следовательно, функция $y = \sqrt{x-5}$ имеет область определения $x \ge 5$, что и требовалось в задаче.

Ответ: $y = \sqrt{x-5}$

3) множество действительных чисел, которые не больше 10, кроме числа -1;

Условие "не больше 10" означает $x \le 10$. Дополнительно нужно исключить из этого множества число -1.
Для задания условия $x \le 10$ снова воспользуемся квадратным корнем. Нам нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Неравенство $10-x \ge 0$ равносильно $x \le 10$. Таким образом, часть условия выполняется функцией $\sqrt{10-x}$.
Чтобы исключить точку $x = -1$, нужно сделать так, чтобы при этом значении $x$ функция была не определена. Это можно сделать, введя знаменатель, который обращается в ноль при $x = -1$. Таким знаменателем является выражение $x-(-1)$, то есть $x+1$.
Объединим оба эти условия в одной функции:
$y = \frac{\sqrt{10-x}}{x+1}$
Область определения этой функции находится из системы двух условий:
1. Подкоренное выражение неотрицательно: $10-x \ge 0 \implies x \le 10$.
2. Знаменатель не равен нулю: $x+1 \ne 0 \implies x \ne -1$.
Объединяя эти условия, получаем, что область определения функции — все действительные числа, которые не больше 10, кроме числа -1.

Ответ: $y = \frac{\sqrt{10-x}}{x+1}$

4) множество, состоящее из одного числа -4.

Требуется задать функцию, которая определена только в одной точке $x = -4$.
Этого можно достичь, используя квадратный корень, подкоренное выражение которого неотрицательно (то есть больше или равно нулю) только в одной-единственной точке.
Рассмотрим выражение $-(x+4)^2$. Квадрат любого действительного числа $(x+4)^2$ всегда неотрицателен: $(x+4)^2 \ge 0$.
Соответственно, выражение $-(x+4)^2$ всегда неположительно: $-(x+4)^2 \le 0$.
Единственный случай, когда это выражение удовлетворяет условию неотрицательности (необходимому для извлечения квадратного корня), это когда оно равно нулю.
$-(x+4)^2 = 0$
$x+4 = 0$
$x = -4$
Таким образом, функция $y = \sqrt{-(x+4)^2}$ определена только при $x=-4$ (и при этом значении $x$ она равна 0).
Альтернативный вариант: функция $y = \sqrt{x+4} + \sqrt{-4-x}$. Первое слагаемое определено при $x \ge -4$, а второе — при $x \le -4$. Оба слагаемых одновременно определены только при $x=-4$.

Ответ: $y = \sqrt{-(x+4)^2}$