Номер 248, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

248. Найдите область определения функции и постройте её график:

1) $f(x) = \frac{x^2 + 4x + 4}{x + 2}$;

2) $f(x) = \frac{x^3}{x}$.

1) $f(x) = \frac{x^2 + 4x + 4}{x + 2}$

Сначала найдем область определения функции. Функция представляет собой дробь, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю.
$x + 2 \ne 0$
$x \ne -2$
Следовательно, область определения функции $D(f)$ — это все действительные числа, кроме $-2$. В виде интервала это записывается как $(-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Теперь упростим выражение для функции. Заметим, что числитель дроби является полным квадратом суммы:
$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$
Тогда функцию можно переписать в виде:
$f(x) = \frac{(x+2)^2}{x+2}$
При условии, что $x \ne -2$ (согласно области определения), мы можем сократить дробь на $(x+2)$:
$f(x) = x + 2$

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком линейной функции $y = x + 2$ во всех точках, за исключением точки, где $x = -2$.
Графиком функции $y = x + 2$ является прямая линия. Для ее построения найдем координаты двух точек:
Если $x = 0$, то $y = 0 + 2 = 2$. Точка $(0; 2)$.
Если $x = -1$, то $y = -1 + 2 = 1$. Точка $(-1; 1)$.

Так как исходная функция не определена в точке $x = -2$, на графике эта точка должна быть исключена ("выколота"). Найдем ординату этой точки, подставив $x = -2$ в упрощенное выражение:
$y = -2 + 2 = 0$.
Следовательно, точка $(-2; 0)$ не принадлежит графику функции. На графике она изображается в виде пустого кружка.
Итак, график функции — это прямая $y = x + 2$ с выколотой точкой $(-2; 0)$.

Ответ: Область определения функции: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$. Графиком является прямая $y = x + 2$ с выколотой точкой $(-2; 0)$.

2) $f(x) = \frac{x^3}{x}$

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю.
$x \ne 0$
Область определения функции $D(f)$ — это все действительные числа, кроме $0$. В виде интервала: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Упростим выражение для функции. При условии, что $x \ne 0$, мы можем сократить дробь на $x$:
$f(x) = \frac{x^3}{x} = x^2$

График исходной функции совпадает с графиком квадратичной функции $y = x^2$ во всех точках, кроме точки, где $x = 0$.
Графиком функции $y = x^2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат $(0; 0)$.

Поскольку исходная функция не определена в точке $x = 0$, на графике эта точка будет "выколота". Найдем координаты этой точки:
При $x = 0$, $y = 0^2 = 0$.
Следовательно, точка $(0; 0)$ (вершина параболы) не принадлежит графику функции.
График функции — это парабола $y = x^2$ с выколотой точкой в вершине $(0; 0)$.

Ответ: Область определения функции: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Графиком является парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(0; 0)$.