Номер 250, страница 61 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

250. Вычислите значение выражения:

1) $(10^3)^2 \cdot 10^{-8};$

2) $\frac{25^{-3} \cdot 5^3}{5^{-5}};$

3) $\frac{81^{-2} \cdot 3^5}{9^{-2}};$

4) $\frac{0,125^3 \cdot 32^2}{0,5^{-2}}.$

1) Для вычисления значения выражения $(10^3)^2 \cdot 10^{-8}$ воспользуемся свойствами степеней.
Сначала применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(10^3)^2 = 10^{3 \cdot 2} = 10^6$.
Теперь выражение имеет вид $10^6 \cdot 10^{-8}$.
Далее применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$10^6 \cdot 10^{-8} = 10^{6 + (-8)} = 10^{-2}$.
Вычислим значение:
$10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$.
Ответ: 0,01.

2) Для вычисления значения выражения $\frac{25^{-3} \cdot 5^3}{5^{-5}}$ приведем все степени к одному основанию 5.
Так как $25 = 5^2$, то $25^{-3} = (5^2)^{-3}$.
Применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(5^2)^{-3} = 5^{2 \cdot (-3)} = 5^{-6}$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{5^{-6} \cdot 5^3}{5^{-5}}$.
В числителе применим правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$5^{-6} \cdot 5^3 = 5^{-6+3} = 5^{-3}$.
Теперь выражение выглядит так: $\frac{5^{-3}}{5^{-5}}$.
Применим правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{5^{-3}}{5^{-5}} = 5^{-3 - (-5)} = 5^{-3+5} = 5^2$.
Вычислим значение: $5^2 = 25$.
Ответ: 25.

3) Для вычисления значения выражения $\frac{81^{-2} \cdot 3^5}{9^{-2}}$ приведем все степени к одному основанию 3.
Мы знаем, что $81 = 3^4$ и $9 = 3^2$.
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{(3^4)^{-2} \cdot 3^5}{(3^2)^{-2}}$.
Применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для числителя и знаменателя:
$(3^4)^{-2} = 3^{4 \cdot (-2)} = 3^{-8}$.
$(3^2)^{-2} = 3^{2 \cdot (-2)} = 3^{-4}$.
Выражение примет вид: $\frac{3^{-8} \cdot 3^5}{3^{-4}}$.
Упростим числитель, используя правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^{-8} \cdot 3^5 = 3^{-8+5} = 3^{-3}$.
Теперь разделим степени по правилу $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{3^{-3}}{3^{-4}} = 3^{-3 - (-4)} = 3^{-3+4} = 3^1 = 3$.
Ответ: 3.

4) Для вычисления значения выражения $\frac{0,125^3 \cdot 32^2}{0,5^{-2}}$ представим десятичные дроби и числа в виде степеней с основанием 2.
$0,125 = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.
$32 = 2^5$.
$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{(2^{-3})^3 \cdot (2^5)^2}{(2^{-1})^{-2}}$.
Применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^{-3})^3 = 2^{-3 \cdot 3} = 2^{-9}$.
$(2^5)^2 = 2^{5 \cdot 2} = 2^{10}$.
$(2^{-1})^{-2} = 2^{-1 \cdot (-2)} = 2^2$.
Выражение примет вид: $\frac{2^{-9} \cdot 2^{10}}{2^2}$.
Упростим числитель по правилу умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$2^{-9} \cdot 2^{10} = 2^{-9+10} = 2^1 = 2$.
Теперь разделим, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{2^1}{2^2} = 2^{1-2} = 2^{-1}$.
Вычислим значение: $2^{-1} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Ответ: 0,5.