Номер 252, страница 61 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

252. Расстояние между городами А и В составляет 120 км. Через 2 ч после выезда из города А мотоциклист задержался у железнодорожного переезда на 6 мин. Чтобы прибыть в город В в запланированное время, он увеличил скорость на 12 км/ч. С какой скоростью двигался мотоциклист после задержки?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ - общее расстояние между городами A и B, равное 120 км.
• $v_1$ - первоначальная (запланированная) скорость мотоциклиста в км/ч.
• $v_2$ - скорость мотоциклиста после задержки в км/ч.
• $t_1$ - время движения до задержки, равное 2 ч.
• $t_{задержки}$ - время задержки, равное 6 мин.

Решение

1. Переведем время задержки из минут в часы, чтобы все единицы были согласованы:

$t_{задержки} = 6 \text{ мин} = \frac{6}{60} \text{ ч} = 0,1 \text{ ч}$.

2. За первые 2 часа мотоциклист проехал расстояние $S_1$ со скоростью $v_1$:

$S_1 = v_1 \cdot t_1 = v_1 \cdot 2 = 2v_1$ км.

3. Оставшееся расстояние $S_2$, которое ему нужно проехать, составляет:

$S_2 = S - S_1 = 120 - 2v_1$ км.

4. Если бы не было задержки, мотоциклист проехал бы оставшееся расстояние $S_2$ со своей первоначальной скоростью $v_1$ за время $T_{план}$:

$T_{план} = \frac{S_2}{v_1} = \frac{120 - 2v_1}{v_1}$ ч.

5. После задержки мотоциклист увеличил скорость на 12 км/ч. Его новая скорость $v_2$ равна:

$v_2 = v_1 + 12$ км/ч.

6. Фактическое время $T_{факт}$, которое он потратил на оставшийся путь $S_2$, двигаясь с новой скоростью $v_2$, равно:

$T_{факт} = \frac{S_2}{v_2} = \frac{120 - 2v_1}{v_1 + 12}$ ч.

7. По условию, мотоциклист прибыл в город B в запланированное время. Это означает, что он скомпенсировал время задержки $t_{задержки}$ за счет увеличения скорости. Разница между плановым временем на второй участок пути и фактическим временем как раз равна времени задержки:

$T_{план} - T_{факт} = t_{задержки}$

Подставим выражения для времени:

$\frac{120 - 2v_1}{v_1} - \frac{120 - 2v_1}{v_1 + 12} = 0,1$

8. Решим полученное уравнение. Вынесем общий множитель $(120 - 2v_1)$ за скобки:

$(120 - 2v_1) \left( \frac{1}{v_1} - \frac{1}{v_1 + 12} \right) = 0,1$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$(120 - 2v_1) \left( \frac{v_1 + 12 - v_1}{v_1(v_1 + 12)} \right) = 0,1$

$(120 - 2v_1) \left( \frac{12}{v_1(v_1 + 12)} \right) = 0,1$

$\frac{12(120 - 2v_1)}{v_1^2 + 12v_1} = \frac{1}{10}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$10 \cdot 12(120 - 2v_1) = 1 \cdot (v_1^2 + 12v_1)$

$120(120 - 2v_1) = v_1^2 + 12v_1$

$14400 - 240v_1 = v_1^2 + 12v_1$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v_1^2 + 12v_1 + 240v_1 - 14400 = 0$

$v_1^2 + 252v_1 - 14400 = 0$

9. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 252^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14400) = 63504 + 57600 = 121104$

Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{121104} = 348$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-252 \pm 348}{2}$

$v_{1,1} = \frac{-252 + 348}{2} = \frac{96}{2} = 48$

$v_{1,2} = \frac{-252 - 348}{2} = \frac{-600}{2} = -300$

Так как скорость не может быть отрицательной, первоначальная скорость мотоциклиста $v_1$ равна 48 км/ч.

10. Вопрос задачи — найти скорость мотоциклиста после задержки, то есть $v_2$.

$v_2 = v_1 + 12 = 48 + 12 = 60$ км/ч.

Ответ: 60 км/ч.