Страница 61 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

249. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1) $x^2 - x - 12;$

2) $-x^2 + 2x + 35;$

3) $6x^2 + 11x - 2;$

4) $\frac{2}{3}x^2 + 3x - 6.$

Для разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ являются корнями соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Рассмотрим трёхчлен $x^2 - x - 12$.
Здесь коэффициенты $a = 1$, $b = -1$, $c = -12$.
Сначала найдём корни квадратного уравнения $x^2 - x - 12 = 0$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.
Найдём корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + 7}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = 4$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - 7}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = -3$.
Теперь подставим найденные корни в формулу разложения:
$x^2 - x - 12 = 1 \cdot (x - 4)(x - (-3)) = (x - 4)(x + 3)$.
Ответ: $(x - 4)(x + 3)$.

Рассмотрим трёхчлен $-x^2 + 2x + 35$.
Здесь $a = -1$, $b = 2$, $c = 35$.
Найдём корни уравнения $-x^2 + 2x + 35 = 0$. Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на $-1$, получив $x^2 - 2x - 35 = 0$.
Вычислим дискриминант для нового уравнения: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$.
$\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.
Найдём корни:
$x_1 = \frac{-(-2) + 12}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
$x_2 = \frac{-(-2) - 12}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.
Подставим корни в формулу разложения, используя коэффициент $a = -1$ из исходного трёхчлена:
$-x^2 + 2x + 35 = -1 \cdot (x - 7)(x - (-5)) = -(x - 7)(x + 5)$.
Ответ: $-(x - 7)(x + 5)$.

Рассмотрим трёхчлен $6x^2 + 11x - 2$.
Здесь $a = 6$, $b = 11$, $c = -2$.
Найдём корни уравнения $6x^2 + 11x - 2 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = 11^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 121 + 48 = 169$.
$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.
Найдём корни:
$x_1 = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 6} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
$x_2 = \frac{-11 - 13}{2 \cdot 6} = \frac{-24}{12} = -2$.
Подставим корни и коэффициент $a=6$ в формулу разложения:
$6x^2 + 11x - 2 = 6(x - \frac{1}{6})(x - (-2)) = 6(x - \frac{1}{6})(x + 2)$.
Чтобы избавиться от дроби, внесём множитель 6 в первую скобку:
$6(x - \frac{1}{6}) = 6x - 6 \cdot \frac{1}{6} = 6x - 1$.
Получаем итоговое разложение: $(6x - 1)(x + 2)$.
Ответ: $(6x - 1)(x + 2)$.

Рассмотрим трёхчлен $\frac{2}{3}x^2 + 3x - 6$.
Здесь $a = \frac{2}{3}$, $b = 3$, $c = -6$.
Найдём корни уравнения $\frac{2}{3}x^2 + 3x - 6 = 0$. Умножим уравнение на 3, чтобы работать с целыми коэффициентами: $2x^2 + 9x - 18 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225$.
$\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$.
Найдём корни:
$x_1 = \frac{-9 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
$x_2 = \frac{-9 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-24}{4} = -6$.
Подставим корни и коэффициент $a = \frac{2}{3}$ из исходного трёхчлена в формулу разложения:
$\frac{2}{3}x^2 + 3x - 6 = \frac{2}{3}(x - \frac{3}{2})(x - (-6)) = \frac{2}{3}(x - \frac{3}{2})(x + 6)$.
Этот вид является правильным ответом. Также можно внести множитель 2 в первую скобку, чтобы избавиться от дроби внутри неё:
$\frac{2}{3}(x - \frac{3}{2})(x + 6) = \frac{1}{3} \cdot 2(x - \frac{3}{2})(x + 6) = \frac{1}{3}(2x - 3)(x + 6)$.
Ответ: $\frac{2}{3}(x - \frac{3}{2})(x + 6)$ (или $\frac{1}{3}(2x - 3)(x + 6)$).

250. Вычислите значение выражения:

1) $(10^3)^2 \cdot 10^{-8};$

2) $\frac{25^{-3} \cdot 5^3}{5^{-5}};$

3) $\frac{81^{-2} \cdot 3^5}{9^{-2}};$

4) $\frac{0,125^3 \cdot 32^2}{0,5^{-2}}.$

1) Для вычисления значения выражения $(10^3)^2 \cdot 10^{-8}$ воспользуемся свойствами степеней.
Сначала применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(10^3)^2 = 10^{3 \cdot 2} = 10^6$.
Теперь выражение имеет вид $10^6 \cdot 10^{-8}$.
Далее применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$10^6 \cdot 10^{-8} = 10^{6 + (-8)} = 10^{-2}$.
Вычислим значение:
$10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$.
Ответ: 0,01.

2) Для вычисления значения выражения $\frac{25^{-3} \cdot 5^3}{5^{-5}}$ приведем все степени к одному основанию 5.
Так как $25 = 5^2$, то $25^{-3} = (5^2)^{-3}$.
Применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(5^2)^{-3} = 5^{2 \cdot (-3)} = 5^{-6}$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{5^{-6} \cdot 5^3}{5^{-5}}$.
В числителе применим правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$5^{-6} \cdot 5^3 = 5^{-6+3} = 5^{-3}$.
Теперь выражение выглядит так: $\frac{5^{-3}}{5^{-5}}$.
Применим правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{5^{-3}}{5^{-5}} = 5^{-3 - (-5)} = 5^{-3+5} = 5^2$.
Вычислим значение: $5^2 = 25$.
Ответ: 25.

3) Для вычисления значения выражения $\frac{81^{-2} \cdot 3^5}{9^{-2}}$ приведем все степени к одному основанию 3.
Мы знаем, что $81 = 3^4$ и $9 = 3^2$.
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{(3^4)^{-2} \cdot 3^5}{(3^2)^{-2}}$.
Применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для числителя и знаменателя:
$(3^4)^{-2} = 3^{4 \cdot (-2)} = 3^{-8}$.
$(3^2)^{-2} = 3^{2 \cdot (-2)} = 3^{-4}$.
Выражение примет вид: $\frac{3^{-8} \cdot 3^5}{3^{-4}}$.
Упростим числитель, используя правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^{-8} \cdot 3^5 = 3^{-8+5} = 3^{-3}$.
Теперь разделим степени по правилу $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{3^{-3}}{3^{-4}} = 3^{-3 - (-4)} = 3^{-3+4} = 3^1 = 3$.
Ответ: 3.

4) Для вычисления значения выражения $\frac{0,125^3 \cdot 32^2}{0,5^{-2}}$ представим десятичные дроби и числа в виде степеней с основанием 2.
$0,125 = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.
$32 = 2^5$.
$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{(2^{-3})^3 \cdot (2^5)^2}{(2^{-1})^{-2}}$.
Применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^{-3})^3 = 2^{-3 \cdot 3} = 2^{-9}$.
$(2^5)^2 = 2^{5 \cdot 2} = 2^{10}$.
$(2^{-1})^{-2} = 2^{-1 \cdot (-2)} = 2^2$.
Выражение примет вид: $\frac{2^{-9} \cdot 2^{10}}{2^2}$.
Упростим числитель по правилу умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$2^{-9} \cdot 2^{10} = 2^{-9+10} = 2^1 = 2$.
Теперь разделим, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{2^1}{2^2} = 2^{1-2} = 2^{-1}$.
Вычислим значение: $2^{-1} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Ответ: 0,5.

251. Цена двух шкафов была одинаковой. Цену первого шкафа сначала повысили на 20 %, а потом снизили на 10 %. Цену второго шкафа, наоборот, сначала снизили на 10 %, а потом повысили на 20 %. Цена какого шкафа стала больше?

Для того чтобы определить, цена какого шкафа стала больше, давайте рассчитаем итоговую стоимость для каждого из них, приняв первоначальную цену за $x$.

Расчет цены первого шкафа:

1. Первоначальную цену $x$ повысили на 20%. Повышение на 20% эквивалентно умножению на коэффициент $1 + \frac{20}{100} = 1,2$.
Новая цена стала: $x \cdot 1,2 = 1,2x$.

2. Затем новую цену $1,2x$ снизили на 10%. Снижение на 10% эквивалентно умножению на коэффициент $1 - \frac{10}{100} = 0,9$.
Конечная цена первого шкафа: $1,2x \cdot 0,9 = 1,08x$.

Расчет цены второго шкафа:

1. Первоначальную цену $x$ снизили на 10%. Снижение на 10% эквивалентно умножению на коэффициент $1 - \frac{10}{100} = 0,9$.
Новая цена стала: $x \cdot 0,9 = 0,9x$.

2. Затем новую цену $0,9x$ повысили на 20%. Повышение на 20% эквивалентно умножению на коэффициент $1 + \frac{20}{100} = 1,2$.
Конечная цена второго шкафа: $0,9x \cdot 1,2 = 1,08x$.

Сравнивая конечные цены, мы видим, что цена первого шкафа ($1,08x$) и цена второго шкафа ($1,08x$) одинаковы. Это объясняется коммутативным свойством умножения (от перестановки множителей произведение не меняется): $1,2 \cdot 0,9 = 0,9 \cdot 1,2$.

Ответ: Цены шкафов стали одинаковыми.

252. Расстояние между городами А и В составляет 120 км. Через 2 ч после выезда из города А мотоциклист задержался у железнодорожного переезда на 6 мин. Чтобы прибыть в город В в запланированное время, он увеличил скорость на 12 км/ч. С какой скоростью двигался мотоциклист после задержки?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ - общее расстояние между городами A и B, равное 120 км.
• $v_1$ - первоначальная (запланированная) скорость мотоциклиста в км/ч.
• $v_2$ - скорость мотоциклиста после задержки в км/ч.
• $t_1$ - время движения до задержки, равное 2 ч.
• $t_{задержки}$ - время задержки, равное 6 мин.

Решение

1. Переведем время задержки из минут в часы, чтобы все единицы были согласованы:

$t_{задержки} = 6 \text{ мин} = \frac{6}{60} \text{ ч} = 0,1 \text{ ч}$.

2. За первые 2 часа мотоциклист проехал расстояние $S_1$ со скоростью $v_1$:

$S_1 = v_1 \cdot t_1 = v_1 \cdot 2 = 2v_1$ км.

3. Оставшееся расстояние $S_2$, которое ему нужно проехать, составляет:

$S_2 = S - S_1 = 120 - 2v_1$ км.

4. Если бы не было задержки, мотоциклист проехал бы оставшееся расстояние $S_2$ со своей первоначальной скоростью $v_1$ за время $T_{план}$:

$T_{план} = \frac{S_2}{v_1} = \frac{120 - 2v_1}{v_1}$ ч.

5. После задержки мотоциклист увеличил скорость на 12 км/ч. Его новая скорость $v_2$ равна:

$v_2 = v_1 + 12$ км/ч.

6. Фактическое время $T_{факт}$, которое он потратил на оставшийся путь $S_2$, двигаясь с новой скоростью $v_2$, равно:

$T_{факт} = \frac{S_2}{v_2} = \frac{120 - 2v_1}{v_1 + 12}$ ч.

7. По условию, мотоциклист прибыл в город B в запланированное время. Это означает, что он скомпенсировал время задержки $t_{задержки}$ за счет увеличения скорости. Разница между плановым временем на второй участок пути и фактическим временем как раз равна времени задержки:

$T_{план} - T_{факт} = t_{задержки}$

Подставим выражения для времени:

$\frac{120 - 2v_1}{v_1} - \frac{120 - 2v_1}{v_1 + 12} = 0,1$

8. Решим полученное уравнение. Вынесем общий множитель $(120 - 2v_1)$ за скобки:

$(120 - 2v_1) \left( \frac{1}{v_1} - \frac{1}{v_1 + 12} \right) = 0,1$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$(120 - 2v_1) \left( \frac{v_1 + 12 - v_1}{v_1(v_1 + 12)} \right) = 0,1$

$(120 - 2v_1) \left( \frac{12}{v_1(v_1 + 12)} \right) = 0,1$

$\frac{12(120 - 2v_1)}{v_1^2 + 12v_1} = \frac{1}{10}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$10 \cdot 12(120 - 2v_1) = 1 \cdot (v_1^2 + 12v_1)$

$120(120 - 2v_1) = v_1^2 + 12v_1$

$14400 - 240v_1 = v_1^2 + 12v_1$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v_1^2 + 12v_1 + 240v_1 - 14400 = 0$

$v_1^2 + 252v_1 - 14400 = 0$

9. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 252^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14400) = 63504 + 57600 = 121104$

Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{121104} = 348$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-252 \pm 348}{2}$

$v_{1,1} = \frac{-252 + 348}{2} = \frac{96}{2} = 48$

$v_{1,2} = \frac{-252 - 348}{2} = \frac{-600}{2} = -300$

Так как скорость не может быть отрицательной, первоначальная скорость мотоциклиста $v_1$ равна 48 км/ч.

10. Вопрос задачи — найти скорость мотоциклиста после задержки, то есть $v_2$.

$v_2 = v_1 + 12 = 48 + 12 = 60$ км/ч.

Ответ: 60 км/ч.

253. Натуральное число $n$ имеет ровно 100 различных натуральных делителей (включая 1 и $n$). Найдите их произведение.

Пусть $d_1, d_2, \ldots, d_{100}$ — это все 100 различных натуральных делителей числа $n$, записанные в порядке возрастания. Таким образом, мы имеем последовательность: $1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_{99} < d_{100} = n$.

Нам необходимо найти произведение всех этих делителей, которое обозначим как $P$: $P = d_1 \cdot d_2 \cdot \ldots \cdot d_{100}$.

Для любого натурального числа $n$, если $d$ является его делителем, то число $n/d$ также является делителем $n$. Это свойство позволяет нам сгруппировать делители в пары.

Давайте составим пары из делителей, взяв первый с последним, второй с предпоследним и так далее.

• Первая пара: $d_1$ и $d_{100}$. Мы знаем, что $d_1 = 1$ и $d_{100} = n$. Их произведение: $d_1 \cdot d_{100} = 1 \cdot n = n$.
• Вторая пара: $d_2$ и $d_{99}$. Делитель $d_{99}$ является вторым по величине. Его можно представить как $n/d_2$. Их произведение: $d_2 \cdot d_{99} = d_2 \cdot \frac{n}{d_2} = n$.
• В общем виде, для любого $i$ от 1 до 100, делитель $d_{101-i}$ равен $n/d_i$. Следовательно, произведение в каждой паре $(d_i, d_{101-i})$ равно $d_i \cdot d_{101-i} = d_i \cdot \frac{n}{d_i} = n$.

Поскольку общее количество делителей равно 100 (четное число), все делители можно разбить на пары без остатка. Если бы число делителей было нечетным, это означало бы, что $n$ является полным квадратом, и один из делителей (а именно $\sqrt{n}$) был бы в паре сам с собой. В нашем случае это не так.

Количество таких пар равно половине общего числа делителей: $100 / 2 = 50$ пар.

Теперь мы можем вычислить искомое произведение $P$ как произведение всех этих пар: $P = (d_1 \cdot d_{100}) \cdot (d_2 \cdot d_{99}) \cdot \ldots \cdot (d_{50} \cdot d_{51})$.

Поскольку произведение в каждой паре равно $n$, мы получаем: $P = \underbrace{n \cdot n \cdot \ldots \cdot n}_{50 \text{ раз}}$.

Таким образом, произведение всех 100 натуральных делителей числа $n$ равно $n^{50}$.

Ответ: $n^{50}$