Страница 59 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

233. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = 7x - 15;$

2) $f(x) = \frac{8}{x+5};$

3) $f(x) = \frac{x-10}{6};$

4) $f(x) = \sqrt{x-9};$

5) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}};$

6) $f(x) = \frac{10}{x^2-4};$

7) $f(x) = \frac{6x+11}{x^2-2x};$

8) $f(x) = \sqrt{x+6} + \sqrt{4-x}.$

1) Функция $f(x) = 7x - 15$ является линейной. Область определения линейной функции — это множество всех действительных чисел, так как для любого значения $x$ можно вычислить значение функции. Ограничений на значения $x$ нет.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2) Функция $f(x) = \frac{8}{x+5}$ является дробно-рациональной. Область определения такой функции — это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль, так как деление на ноль не определено.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$x + 5 = 0$
$x = -5$
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $-5$.
Ответ: $D(f) = (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.

3) Функция $f(x) = \frac{x-10}{6}$ является линейной, так как ее можно записать в виде $f(x) = \frac{1}{6}x - \frac{10}{6}$. Знаменатель является константой (6) и не равен нулю. Ограничений на значения переменной $x$ нет.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

4) Функция $f(x) = \sqrt{x-9}$ содержит квадратный корень. Выражение под знаком квадратного корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).
Запишем и решим соответствующее неравенство:
$x - 9 \ge 0$
$x \ge 9$
Следовательно, область определения — это все числа, большие или равные 9.
Ответ: $D(f) = [9; +\infty)$.

5) В функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$ переменная $x$ находится и под знаком корня, и в знаменателе дроби. Это накладывает два ограничения:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $1-x \ge 0$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt{1-x} \neq 0$.
Эти два условия можно объединить в одно строгое неравенство: подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.
$1 - x > 0$
$1 > x$, или $x < 1$
Следовательно, область определения — это все числа, строго меньшие 1.
Ответ: $D(f) = (-\infty; 1)$.

6) Функция $f(x) = \frac{10}{x^2-4}$ является дробно-рациональной. Знаменатель не должен быть равен нулю.
Найдем значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль:
$x^2 - 4 = 0$
Разложим на множители, используя формулу разности квадратов:
$(x-2)(x+2) = 0$
Знаменатель равен нулю при $x = 2$ и $x = -2$. Эти значения необходимо исключить из области определения.
Ответ: $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

7) Функция $f(x) = \frac{6x+11}{x^2-2x}$ является дробно-рациональной. Знаменатель не должен быть равен нулю.
Найдем значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль:
$x^2 - 2x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x-2) = 0$
Знаменатель равен нулю при $x = 0$ и $x = 2$. Эти значения необходимо исключить из области определения.
Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

8) Функция $f(x) = \sqrt{x+6} + \sqrt{4-x}$ является суммой двух функций, содержащих квадратный корень. Чтобы функция была определена, оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:
$\begin{cases} x + 6 \ge 0 \\ 4 - x \ge 0 \end{cases}$
Решим каждое неравенство по отдельности:
1) $x + 6 \ge 0 \implies x \ge -6$
2) $4 - x \ge 0 \implies 4 \ge x \implies x \le 4$
Область определения является пересечением решений этих неравенств, то есть все значения $x$, которые одновременно больше или равны -6 и меньше или равны 4.
$-6 \le x \le 4$
Ответ: $D(f) = [-6; 4]$.

234. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{x+3}{x-4}$;

2) $f(x) = \frac{9}{x^2+16}$;

3) $f(x) = \frac{5x+1}{x^2-6x+8}$;

4) $f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{x-3}$;

5) $f(x) = \sqrt{x-5} + \sqrt{5-x}$;

6) $f(x) = \sqrt{x^2+1}$.

1) Область определения функции $f(x) = \frac{x+3}{x-4}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю, так как деление на ноль не определено.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x - 4 = 0$

$x = 4$

Следовательно, функция определена для всех действительных чисел $x$, кроме $x = 4$.

Ответ: $(-\infty, 4) \cup (4, +\infty)$

2) Для функции $f(x) = \frac{9}{x^2 + 16}$ необходимо, чтобы знаменатель $x^2 + 16$ не был равен нулю.

Рассмотрим уравнение $x^2 + 16 = 0$:

$x^2 = -16$

Данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел, поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$). Знаменатель $x^2 + 16$ всегда положителен для любого $x \in \mathbb{R}$.

Таким образом, функция определена для всех действительных значений $x$.

Ответ: $(-\infty, +\infty)$

3) В функции $f(x) = \frac{5x+1}{x^2 - 6x + 8}$ знаменатель не должен быть равен нулю. Найдем корни знаменателя, решив квадратное уравнение:

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Используем теорему Виета: сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Таким образом, знаменатель равен нулю при $x = 2$ и $x = 4$. Эти значения необходимо исключить из области определения.

Ответ: $(-\infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, +\infty)$

4) Функция $f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{x-3}$ содержит квадратные корни. Область определения такой функции находится из условия, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ x - 3 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1) $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$

2) $x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$

Для того чтобы выполнялись оба условия, необходимо взять пересечение их решений. Оба неравенства верны при $x \ge 3$.

Ответ: $[3, +\infty)$

5) Для функции $f(x) = \sqrt{x-5} + \sqrt{5-x}$ оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} x - 5 \ge 0 \\ 5 - x \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \ge 5$. Из второго неравенства получаем $x \le 5$.

Единственное число, которое одновременно удовлетворяет обоим условиям ($x \ge 5$ и $x \le 5$) — это $x=5$.

Следовательно, область определения функции состоит из одной точки.

Ответ: $\{5\}$

6) В функции $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ выражение под знаком корня должно быть неотрицательным.

Рассмотрим неравенство: $x^2 + 1 \ge 0$.

Для любого действительного числа $x$, его квадрат $x^2$ является неотрицательным ($x^2 \ge 0$). Тогда сумма $x^2 + 1$ всегда будет больше или равна 1, то есть $x^2 + 1 \ge 1$.

Поскольку $1 > 0$, неравенство $x^2 + 1 \ge 0$ выполняется для всех действительных $x$.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа.

Ответ: $(-\infty, +\infty)$

235. Постройте график функции:

1) $f(x) = -2x + 3;$

2) $f(x) = -\frac{1}{4}x;$

3) $f(x) = 3;$

4) $f(x) = -\frac{6}{x}.$

1) $f(x) = -2x + 3$

Данная функция является линейной функцией вида $y = kx + b$, где коэффициент $k = -2$ и свободный член $b = 3$. Графиком линейной функции является прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой. Найдем две точки: при $x = 0$, $f(0) = -2 \cdot 0 + 3 = 3$, получаем точку $(0, 3)$, которая является точкой пересечения графика с осью ординат (осью OY); при $x = 2$, $f(2) = -2 \cdot 2 + 3 = -4 + 3 = -1$, получаем точку $(2, -1)$.

Проведем через точки $(0, 3)$ и $(2, -1)$ прямую. Это и будет график функции $f(x) = -2x + 3$. Так как коэффициент $k=-2 < 0$, функция является убывающей, и ее график наклонен к положительному направлению оси абсцисс под тупым углом.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(2, -1)$.

2) $f(x) = -\frac{1}{4}x$

Данная функция является линейной функцией вида $y = kx$. Это частный случай линейной функции, который называется прямой пропорциональностью. Графиком также является прямая линия, которая обязательно проходит через начало координат — точку $(0, 0)$. Для построения графика нам нужна еще одна точка. Выберем удобное значение для $x$, например, кратное 4, чтобы избежать дробей. При $x = 4$, $f(4) = -\frac{1}{4} \cdot 4 = -1$. Получаем вторую точку $(4, -1)$.

Проведем через точки $(0, 0)$ и $(4, -1)$ прямую. Угловой коэффициент $k = -1/4$ отрицателен, поэтому функция убывающая. График расположен во II и IV координатных четвертях.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через начало координат и точку $(4, -1)$.

3) $f(x) = 3$

Это постоянная функция (константа), вида $y = c$, где $c = 3$. Для любого значения аргумента $x$ значение функции будет равно 3. Например, график будет проходить через точки $(-2, 3)$, $(0, 3)$, $(5, 3)$ и так далее. Графиком такой функции является прямая линия, параллельная оси абсцисс (оси OX) и проходящая через точку $(0, 3)$ на оси ординат.

Ответ: Графиком функции является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку $(0, 3)$.

4) $f(x) = -\frac{6}{x}$

Данная функция является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$, где $k = -6$. Графиком такой функции является гипербола. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$. Это значит, что график не пересекает ось ординат (OY). Поскольку коэффициент $k = -6$ отрицателен, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Оси координат (прямые $x=0$ и $y=0$) являются асимптотами для графика.

Для построения графика найдем несколько точек для каждой ветви. Для ветви во II четверти ($x < 0$) можно взять точки: $(-1, 6)$, $(-2, 3)$, $(-3, 2)$, $(-6, 1)$. Для ветви в IV четверти ($x > 0$) можно взять точки: $(1, -6)$, $(2, -3)$, $(3, -2)$, $(6, -1)$. Соединив точки в каждой четверти плавными линиями, получим две ветви гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат.

236. Постройте график функции:

1) $f(x) = 4 - \frac{1}{3}x$;

2) $f(x) = \frac{8}{x}$.

1) $f(x) = 4 - \frac{1}{3}x$

Данная функция является линейной. Ее можно представить в стандартном виде $y = kx + b$, где $k = -\frac{1}{3}$ и $b = 4$. Графиком линейной функции является прямая линия.

Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых ее точек. Выберем два удобных значения аргумента $x$ и вычислим для них соответствующие значения функции $f(x)$.

• Найдем точку пересечения с осью ординат (Oy). Для этого примем $x = 0$:

  $f(0) = 4 - \frac{1}{3} \cdot 0 = 4$.

  Получили точку с координатами $(0, 4)$.

• Найдем точку пересечения с осью абсцисс (Ox). Для этого примем $f(x) = 0$:

  $0 = 4 - \frac{1}{3}x$

  $\frac{1}{3}x = 4$

  $x = 4 \cdot 3 = 12$.

  Получили точку с координатами $(12, 0)$.

Теперь нужно отметить на координатной плоскости точки $(0, 4)$ и $(12, 0)$ и провести через них прямую линию. Это и будет график функции $f(x) = 4 - \frac{1}{3}x$.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0, 4)$ и $(12, 0)$.

2) $f(x) = \frac{8}{x}$

Данная функция является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k = 8$. Графиком такой функции является гипербола.

Основные свойства:

• Область определения функции: все числа, кроме $x=0$.
• Так как $k=8 > 0$, ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях.
• Оси координат (ось Ox и ось Oy) являются асимптотами графика, то есть кривые приближаются к ним, но никогда не пересекают.

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек на каждой ветви.

Ветвь в I четверти ($x > 0$):

• При $x=1, f(1) = \frac{8}{1} = 8$. Точка $(1, 8)$.
• При $x=2, f(2) = \frac{8}{2} = 4$. Точка $(2, 4)$.
• При $x=4, f(4) = \frac{8}{4} = 2$. Точка $(4, 2)$.
• При $x=8, f(8) = \frac{8}{8} = 1$. Точка $(8, 1)$.

Ветвь в III четверти ($x < 0$):

• При $x=-1, f(-1) = \frac{8}{-1} = -8$. Точка $(-1, -8)$.
• При $x=-2, f(-2) = \frac{8}{-2} = -4$. Точка $(-2, -4)$.
• При $x=-4, f(-4) = \frac{8}{-4} = -2$. Точка $(-4, -2)$.
• При $x=-8, f(-8) = \frac{8}{-8} = -1$. Точка $(-8, -1)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными кривыми, получим две ветви гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях, проходящая через точки $(1, 8)$, $(2, 4)$, $(4, 2)$, $(8, 1)$ и $(-1, -8)$, $(-2, -4)$, $(-4, -2)$, $(-8, -1)$.

237. Найдите, не выполняя построения, точки пересечения с осями координат графика функции:

1) $f(x) = \frac{1}{6}x - 7;$

2) $f(x) = \frac{20 + 4x}{3x - 5};$

3) $g(x) = 9 - x^2;$

4) $\varphi(x) = x^2 + 2x - 3.$

Для нахождения точек пересечения графика функции с осями координат, необходимо выполнить следующие действия:

1. Для нахождения точки пересечения с осью ординат (осью Oy), нужно подставить в уравнение функции значение $x=0$ и вычислить соответствующее значение $y$. Координаты точки пересечения будут $(0, y)$.

2. Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс (осью Ox), нужно подставить в уравнение функции значение $y=0$ (то есть, приравнять всю функцию к нулю) и решить полученное уравнение относительно $x$. Координаты точек пересечения будут $(x, 0)$.

1) Дана функция $f(x) = \frac{1}{6}x - 7$.

Найдём точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$:
$y = \frac{1}{6} \cdot 0 - 7 = -7$.
Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, -7)$.

Найдём точку пересечения с осью Ox, приравняв $f(x)$ к нулю:
$\frac{1}{6}x - 7 = 0$
$\frac{1}{6}x = 7$
$x = 7 \cdot 6 = 42$.
Таким образом, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(42, 0)$.

Ответ: с осью Ox: $(42, 0)$, с осью Oy: $(0, -7)$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{20 + 4x}{3x - 5}$.

Найдём точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$:
$y = \frac{20 + 4 \cdot 0}{3 \cdot 0 - 5} = \frac{20}{-5} = -4$.
Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, -4)$.

Найдём точку пересечения с осью Ox, приравняв $f(x)$ к нулю:
$\frac{20 + 4x}{3x - 5} = 0$.
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$20 + 4x = 0$
$4x = -20$
$x = -5$.
Проверим, не обращается ли знаменатель в ноль при этом значении $x$:
$3(-5) - 5 = -15 - 5 = -20 \neq 0$.
Таким образом, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(-5, 0)$.

Ответ: с осью Ox: $(-5, 0)$, с осью Oy: $(0, -4)$.

3) Дана функция $g(x) = 9 - x^2$.

Найдём точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$:
$y = 9 - 0^2 = 9$.
Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, 9)$.

Найдём точки пересечения с осью Ox, приравняв $g(x)$ к нулю:
$9 - x^2 = 0$
$x^2 = 9$
$x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Таким образом, точки пересечения с осью Ox имеют координаты $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

Ответ: с осью Ox: $(-3, 0)$ и $(3, 0)$, с осью Oy: $(0, 9)$.

4) Дана функция $\varphi(x) = x^2 + 2x - 3$.

Найдём точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$:
$y = 0^2 + 2 \cdot 0 - 3 = -3$.
Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, -3)$.

Найдём точки пересечения с осью Ox, приравняв $\varphi(x)$ к нулю:
$x^2 + 2x - 3 = 0$.
Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 4}{2}$.
$x_1 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
$x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Таким образом, точки пересечения с осью Ox имеют координаты $(-3, 0)$ и $(1, 0)$.

Ответ: с осью Ox: $(-3, 0)$ и $(1, 0)$, с осью Oy: $(0, -3)$.

238. Найдите, не выполняя построения, точки пересечения с осями координат графика функции:

1) $h(x) = 9 - 10x$;

2) $p(x) = 4x^2 + x - 3$;

3) $s(x) = \frac{x^2 - 2}{x^2 + 2}$.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, нужно выполнить следующие действия:

• Для нахождения точки пересечения с осью ординат (осью Oy), нужно подставить $x = 0$ в уравнение функции и найти соответствующее значение $y$. Координаты этой точки будут $(0; y)$.
• Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс (осью Ox), нужно подставить $y = 0$ в уравнение функции (то есть приравнять функцию к нулю) и решить полученное уравнение относительно $x$. Координаты этих точек будут $(x; 0)$.

1) $h(x) = 9 - 10x$

Пересечение с осью Oy ($x=0$):

$y = h(0) = 9 - 10 \cdot 0 = 9$

Точка пересечения с осью Oy: $(0; 9)$.

Пересечение с осью Ox ($y=0$):

$h(x) = 0 \implies 9 - 10x = 0$

$10x = 9$

$x = \frac{9}{10} = 0,9$

Точка пересечения с осью Ox: $(0,9; 0)$.

Ответ: с осью Oy: $(0; 9)$; с осью Ox: $(0,9; 0)$.

2) $p(x) = 4x^2 + x - 3$

Пересечение с осью Oy ($x=0$):

$y = p(0) = 4 \cdot 0^2 + 0 - 3 = -3$

Точка пересечения с осью Oy: $(0; -3)$.

Пересечение с осью Ox ($y=0$):

$p(x) = 0 \implies 4x^2 + x - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$

$\sqrt{D} = 7$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75$

Точки пересечения с осью Ox: $(-1; 0)$ и $(0,75; 0)$.

Ответ: с осью Oy: $(0; -3)$; с осью Ox: $(-1; 0)$ и $(0,75; 0)$.

3) $s(x) = \frac{x^2 - 2}{x^2 + 2}$

Пересечение с осью Oy ($x=0$):

$y = s(0) = \frac{0^2 - 2}{0^2 + 2} = \frac{-2}{2} = -1$

Точка пересечения с осью Oy: $(0; -1)$.

Пересечение с осью Ox ($y=0$):

$s(x) = 0 \implies \frac{x^2 - 2}{x^2 + 2} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель $x^2 + 2$ всегда положителен (так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 2 \ge 2$), поэтому он никогда не равен нулю. Приравниваем числитель к нулю:

$x^2 - 2 = 0$

$x^2 = 2$

$x = \pm\sqrt{2}$

Точки пересечения с осью Ox: $(-\sqrt{2}; 0)$ и $(\sqrt{2}; 0)$.

Ответ: с осью Oy: $(0; -1)$; с осью Ox: $(-\sqrt{2}; 0)$ и $(\sqrt{2}; 0)$.

239. Дана функция $f(x) = \begin{cases} 3x - 1, & \text{если } x \le -1, \\ x^2 - 5, & \text{если } -1 < x < 4, \\ 11, & \text{если } x \ge 4. \end{cases}$

Найдите:

1) $f(-3);$

2) $f(-1);$

3) $f(2);$

4) $f(6,4).$

Для нахождения значения кусочно-заданной функции $f(x)$ при заданном значении аргумента $x$, необходимо сначала определить, какому из интервалов, указанных в условии, принадлежит $x$. Затем следует подставить это значение в соответствующую формулу.

1) f(-3);
Чтобы найти $f(-3)$, определим, какому условию удовлетворяет $x = -3$.
Сравниваем $x = -3$ с условиями:
- $x \le -1$: $-3 \le -1$ (верно).
- $-1 < x < 4$: $-1 < -3 < 4$ (неверно).
- $x \ge 4$: $-3 \ge 4$ (неверно).
Так как выполняется первое условие, используем формулу $f(x) = 3x - 1$.
Подставим $x = -3$:
$f(-3) = 3 \cdot (-3) - 1 = -9 - 1 = -10$.
Ответ: -10.

2) f(-1);
Чтобы найти $f(-1)$, определим, какому условию удовлетворяет $x = -1$.
Сравниваем $x = -1$ с условиями:
- $x \le -1$: $-1 \le -1$ (верно).
- $-1 < x < 4$: $-1 < -1 < 4$ (неверно, так как $-1$ не больше $-1$).
- $x \ge 4$: $-1 \ge 4$ (неверно).
Так как выполняется первое условие, используем формулу $f(x) = 3x - 1$.
Подставим $x = -1$:
$f(-1) = 3 \cdot (-1) - 1 = -3 - 1 = -4$.
Ответ: -4.

3) f(2);
Чтобы найти $f(2)$, определим, какому условию удовлетворяет $x = 2$.
Сравниваем $x = 2$ с условиями:
- $x \le -1$: $2 \le -1$ (неверно).
- $-1 < x < 4$: $-1 < 2 < 4$ (верно).
- $x \ge 4$: $2 \ge 4$ (неверно).
Так как выполняется второе условие, используем формулу $f(x) = x^2 - 5$.
Подставим $x = 2$:
$f(2) = 2^2 - 5 = 4 - 5 = -1$.
Ответ: -1.

4) f(6,4).
Чтобы найти $f(6,4)$, определим, какому условию удовлетворяет $x = 6,4$.
Сравниваем $x = 6,4$ с условиями:
- $x \le -1$: $6,4 \le -1$ (неверно).
- $-1 < x < 4$: $-1 < 6,4 < 4$ (неверно, так как $6,4$ не меньше $4$).
- $x \ge 4$: $6,4 \ge 4$ (верно).
Так как выполняется третье условие, значение функции на этом промежутке является константой: $f(x) = 11$.
Следовательно, $f(6,4) = 11$.
Ответ: 11.