Номер 234, страница 59 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

234. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{x+3}{x-4}$;

2) $f(x) = \frac{9}{x^2+16}$;

3) $f(x) = \frac{5x+1}{x^2-6x+8}$;

4) $f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{x-3}$;

5) $f(x) = \sqrt{x-5} + \sqrt{5-x}$;

6) $f(x) = \sqrt{x^2+1}$.

1) Область определения функции $f(x) = \frac{x+3}{x-4}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю, так как деление на ноль не определено.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x - 4 = 0$

$x = 4$

Следовательно, функция определена для всех действительных чисел $x$, кроме $x = 4$.

Ответ: $(-\infty, 4) \cup (4, +\infty)$

2) Для функции $f(x) = \frac{9}{x^2 + 16}$ необходимо, чтобы знаменатель $x^2 + 16$ не был равен нулю.

Рассмотрим уравнение $x^2 + 16 = 0$:

$x^2 = -16$

Данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел, поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$). Знаменатель $x^2 + 16$ всегда положителен для любого $x \in \mathbb{R}$.

Таким образом, функция определена для всех действительных значений $x$.

Ответ: $(-\infty, +\infty)$

3) В функции $f(x) = \frac{5x+1}{x^2 - 6x + 8}$ знаменатель не должен быть равен нулю. Найдем корни знаменателя, решив квадратное уравнение:

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Используем теорему Виета: сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Таким образом, знаменатель равен нулю при $x = 2$ и $x = 4$. Эти значения необходимо исключить из области определения.

Ответ: $(-\infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, +\infty)$

4) Функция $f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{x-3}$ содержит квадратные корни. Область определения такой функции находится из условия, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ x - 3 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1) $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$

2) $x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$

Для того чтобы выполнялись оба условия, необходимо взять пересечение их решений. Оба неравенства верны при $x \ge 3$.

Ответ: $[3, +\infty)$

5) Для функции $f(x) = \sqrt{x-5} + \sqrt{5-x}$ оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} x - 5 \ge 0 \\ 5 - x \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \ge 5$. Из второго неравенства получаем $x \le 5$.

Единственное число, которое одновременно удовлетворяет обоим условиям ($x \ge 5$ и $x \le 5$) — это $x=5$.

Следовательно, область определения функции состоит из одной точки.

Ответ: $\{5\}$

6) В функции $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ выражение под знаком корня должно быть неотрицательным.

Рассмотрим неравенство: $x^2 + 1 \ge 0$.

Для любого действительного числа $x$, его квадрат $x^2$ является неотрицательным ($x^2 \ge 0$). Тогда сумма $x^2 + 1$ всегда будет больше или равна 1, то есть $x^2 + 1 \ge 1$.

Поскольку $1 > 0$, неравенство $x^2 + 1 \ge 0$ выполняется для всех действительных $x$.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа.

Ответ: $(-\infty, +\infty)$