Номер 235, страница 59 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

235. Постройте график функции:

1) $f(x) = -2x + 3;$

2) $f(x) = -\frac{1}{4}x;$

3) $f(x) = 3;$

4) $f(x) = -\frac{6}{x}.$

1) $f(x) = -2x + 3$

Данная функция является линейной функцией вида $y = kx + b$, где коэффициент $k = -2$ и свободный член $b = 3$. Графиком линейной функции является прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой. Найдем две точки: при $x = 0$, $f(0) = -2 \cdot 0 + 3 = 3$, получаем точку $(0, 3)$, которая является точкой пересечения графика с осью ординат (осью OY); при $x = 2$, $f(2) = -2 \cdot 2 + 3 = -4 + 3 = -1$, получаем точку $(2, -1)$.

Проведем через точки $(0, 3)$ и $(2, -1)$ прямую. Это и будет график функции $f(x) = -2x + 3$. Так как коэффициент $k=-2 < 0$, функция является убывающей, и ее график наклонен к положительному направлению оси абсцисс под тупым углом.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(2, -1)$.

2) $f(x) = -\frac{1}{4}x$

Данная функция является линейной функцией вида $y = kx$. Это частный случай линейной функции, который называется прямой пропорциональностью. Графиком также является прямая линия, которая обязательно проходит через начало координат — точку $(0, 0)$. Для построения графика нам нужна еще одна точка. Выберем удобное значение для $x$, например, кратное 4, чтобы избежать дробей. При $x = 4$, $f(4) = -\frac{1}{4} \cdot 4 = -1$. Получаем вторую точку $(4, -1)$.

Проведем через точки $(0, 0)$ и $(4, -1)$ прямую. Угловой коэффициент $k = -1/4$ отрицателен, поэтому функция убывающая. График расположен во II и IV координатных четвертях.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через начало координат и точку $(4, -1)$.

3) $f(x) = 3$

Это постоянная функция (константа), вида $y = c$, где $c = 3$. Для любого значения аргумента $x$ значение функции будет равно 3. Например, график будет проходить через точки $(-2, 3)$, $(0, 3)$, $(5, 3)$ и так далее. Графиком такой функции является прямая линия, параллельная оси абсцисс (оси OX) и проходящая через точку $(0, 3)$ на оси ординат.

Ответ: Графиком функции является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку $(0, 3)$.

4) $f(x) = -\frac{6}{x}$

Данная функция является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$, где $k = -6$. Графиком такой функции является гипербола. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$. Это значит, что график не пересекает ось ординат (OY). Поскольку коэффициент $k = -6$ отрицателен, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Оси координат (прямые $x=0$ и $y=0$) являются асимптотами для графика.

Для построения графика найдем несколько точек для каждой ветви. Для ветви во II четверти ($x < 0$) можно взять точки: $(-1, 6)$, $(-2, 3)$, $(-3, 2)$, $(-6, 1)$. Для ветви в IV четверти ($x > 0$) можно взять точки: $(1, -6)$, $(2, -3)$, $(3, -2)$, $(6, -1)$. Соединив точки в каждой четверти плавными линиями, получим две ветви гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат.