Номер 241, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

241. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} -\frac{4}{x}, & \text{если } x < -2, \\ -x, & \text{если } -2 \le x \le 0, \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

Для построения графика заданной кусочной функции необходимо рассмотреть каждый из трех интервалов отдельно.

1. Построение графика на интервале $x < -2$

На этом интервале функция задается формулой $f(x) = -\frac{4}{x}$. Графиком этой функции является гипербола, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Поскольку нас интересует промежуток $x < -2$, мы строим часть ветви, находящуюся во второй четверти.

Определим ключевые точки:

• На границе интервала, в точке $x = -2$, значение функции будет $y = -\frac{4}{-2} = 2$. Так как неравенство строгое ($x < -2$), эта точка $(-2; 2)$ будет выколотой (незакрашенной) на графике.
• Вычислим значения в нескольких других точках для точности построения:
  Если $x = -4$, то $y = -\frac{4}{-4} = 1$.
  Если $x = -8$, то $y = -\frac{4}{-8} = 0.5$.

Эта часть графика представляет собой кривую, которая начинается в точке $(-2; 2)$ и уходит влево, асимптотически приближаясь к оси абсцисс ($y=0$).

2. Построение графика на отрезке $-2 \le x \le 0$

На этом отрезке функция задается формулой $f(x) = -x$. Ее график — это прямая линия. Нам нужно построить ее часть, заключенную между $x = -2$ и $x = 0$. Это будет отрезок прямой.

Найдем координаты концов этого отрезка:

• При $x = -2$, $y = -(-2) = 2$. Получаем точку $(-2; 2)$. Так как неравенство нестрогое, точка закрашенная. Она совпадает с выколотой точкой из предыдущего интервала и, таким образом, "заполняет" ее.
• При $x = 0$, $y = -0 = 0$. Получаем точку $(0; 0)$. Эта точка также закрашенная.

Итак, на данном промежутке график — это отрезок, соединяющий точки $(-2; 2)$ и $(0; 0)$.

3. Построение графика на интервале $x > 0$

На этом интервале функция задается формулой $f(x) = \sqrt{x}$. График этой функции — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox.

Определим ключевые точки:

• На границе интервала, в точке $x=0$, значение функции $y = \sqrt{0} = 0$. Так как неравенство строгое ($x > 0$), точка $(0; 0)$ будет выколотой. Она совпадает с концом отрезка из предыдущего шага, поэтому график в этой точке остается непрерывным.
• Вычислим значения в нескольких других точках:
  Если $x = 1$, то $y = \sqrt{1} = 1$.
  Если $x = 4$, то $y = \sqrt{4} = 2$.
  Если $x = 9$, то $y = \sqrt{9} = 3$.

Эта часть графика начинается в точке $(0; 0)$ и уходит вправо и вверх.

Итоговый график

Объединяя все три части на одной координатной плоскости, получаем единый непрерывный график. Он состоит из ветви гиперболы для $x < -2$, отрезка прямой для $-2 \le x \le 0$ и ветви параболы для $x > 0$.

Ответ: Построен график кусочно-заданной функции.
График состоит из трех частей:
1) для $x < -2$ — это часть гиперболы $y = -4/x$, расположенная во второй четверти, с выколотой начальной точкой $(-2; 2)$;
2) для $-2 \le x \le 0$ — это отрезок прямой $y = -x$, соединяющий точки $(-2; 2)$ и $(0; 0)$;
3) для $x > 0$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, ветвь параболы, выходящая из точки $(0; 0)$.
В точках "стыковки" $x=-2$ и $x=0$ функция непрерывна, поэтому график представляет собой сплошную линию.