Номер 236, страница 59 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

236. Постройте график функции:

1) $f(x) = 4 - \frac{1}{3}x$;

2) $f(x) = \frac{8}{x}$.

1) $f(x) = 4 - \frac{1}{3}x$

Данная функция является линейной. Ее можно представить в стандартном виде $y = kx + b$, где $k = -\frac{1}{3}$ и $b = 4$. Графиком линейной функции является прямая линия.

Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых ее точек. Выберем два удобных значения аргумента $x$ и вычислим для них соответствующие значения функции $f(x)$.

• Найдем точку пересечения с осью ординат (Oy). Для этого примем $x = 0$:

  $f(0) = 4 - \frac{1}{3} \cdot 0 = 4$.

  Получили точку с координатами $(0, 4)$.

• Найдем точку пересечения с осью абсцисс (Ox). Для этого примем $f(x) = 0$:

  $0 = 4 - \frac{1}{3}x$

  $\frac{1}{3}x = 4$

  $x = 4 \cdot 3 = 12$.

  Получили точку с координатами $(12, 0)$.

Теперь нужно отметить на координатной плоскости точки $(0, 4)$ и $(12, 0)$ и провести через них прямую линию. Это и будет график функции $f(x) = 4 - \frac{1}{3}x$.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0, 4)$ и $(12, 0)$.

2) $f(x) = \frac{8}{x}$

Данная функция является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k = 8$. Графиком такой функции является гипербола.

Основные свойства:

• Область определения функции: все числа, кроме $x=0$.
• Так как $k=8 > 0$, ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях.
• Оси координат (ось Ox и ось Oy) являются асимптотами графика, то есть кривые приближаются к ним, но никогда не пересекают.

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек на каждой ветви.

Ветвь в I четверти ($x > 0$):

• При $x=1, f(1) = \frac{8}{1} = 8$. Точка $(1, 8)$.
• При $x=2, f(2) = \frac{8}{2} = 4$. Точка $(2, 4)$.
• При $x=4, f(4) = \frac{8}{4} = 2$. Точка $(4, 2)$.
• При $x=8, f(8) = \frac{8}{8} = 1$. Точка $(8, 1)$.

Ветвь в III четверти ($x < 0$):

• При $x=-1, f(-1) = \frac{8}{-1} = -8$. Точка $(-1, -8)$.
• При $x=-2, f(-2) = \frac{8}{-2} = -4$. Точка $(-2, -4)$.
• При $x=-4, f(-4) = \frac{8}{-4} = -2$. Точка $(-4, -2)$.
• При $x=-8, f(-8) = \frac{8}{-8} = -1$. Точка $(-8, -1)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными кривыми, получим две ветви гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях, проходящая через точки $(1, 8)$, $(2, 4)$, $(4, 2)$, $(8, 1)$ и $(-1, -8)$, $(-2, -4)$, $(-4, -2)$, $(-8, -1)$.