Номер 240, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

240. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} 6, & \text{если } x \le -3 \\ x^2, & \text{если } -3 < x < 1 \\ x, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Для построения графика кусочно-заданной функции $f(x) = \begin{cases} 6, & \text{если } x \le -3 \\ x^2, & \text{если } -3 < x < 1 \\ x, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$ необходимо построить график каждой из трех функций на указанном для нее промежутке. Рассмотрим каждый участок отдельно.

1. Построение на промежутке $x \le -3$

На этом промежутке функция задается как $f(x) = 6$. Это постоянная функция, ее график — горизонтальная прямая $y=6$. Так как неравенство $x \le -3$ нестрогое, точка $x = -3$ включается в этот промежуток. Следовательно, точка на графике с координатами $(-3; 6)$ будет закрашенной. Графиком является луч, выходящий из точки $(-3; 6)$ и идущий влево параллельно оси абсцисс.

2. Построение на промежутке $-3 < x < 1$

На этом интервале функция задается формулой $f(x) = x^2$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с вершиной в начале координат $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх. Поскольку интервал $(-3; 1)$ строгий, граничные точки в него не входят. Найдем значения функции на границах интервала:
При $x = -3$, $y = (-3)^2 = 9$. Точка $(-3; 9)$ будет выколотой (незакрашенной).
При $x = 1$, $y = 1^2 = 1$. Точка $(1; 1)$ также будет выколотой.
Таким образом, на данном участке график представляет собой дугу параболы $y=x^2$, соединяющую выколотые точки $(-3; 9)$ и $(1; 1)$ и проходящую через вершину $(0; 0)$.

3. Построение на промежутке $x \ge 1$

На этом промежутке функция задается как $f(x) = x$. Это линейная функция, ее график — прямая, являющаяся биссектрисой первого координатного угла. Так как неравенство $x \ge 1$ нестрогое, точка $x=1$ включается в промежуток. Значение функции в этой точке $f(1) = 1$. Следовательно, точка $(1; 1)$ на графике будет закрашенной. Эта закрашенная точка "заполняет" выколотую точку с теми же координатами из предыдущего интервала, делая функцию непрерывной в точке $x=1$. Графиком является луч, выходящий из точки $(1; 1)$ и идущий вверх и вправо.

Итоговый график

Совместив все три части на одной координатной плоскости, мы получим итоговый график функции. Функция имеет разрыв первого рода в точке $x=-3$ и является непрерывной во всех остальных точках своей области определения.

Ответ:

График функции $f(x)$ изображен на рисунке ниже.